Упр.15.18 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ и $$b$$ решением системы уравнений является пара чисел:
   
   а) $$\begin{cases}(a-10)x+by=2b,\\ ax-(b+4)y=2a-20;\end{cases}$$ $$\left(1;1\right)$$
   
   б) $$\begin{cases}(a+1)x-by=2b,\\ ax+(b+1)y=5a;\end{cases}$$ $$\left(-4;-6\right)$$?

1. а) Подставим $$x=1$$ и $$y=1$$ в систему:

   $$\begin{cases} a-10\cdot 1+b\cdot 1=2b,\\ a\cdot 1-(b+4)\cdot 1=2a-20. \end{cases}$$

   Получаем:

   $$\begin{cases} a-10+b=2b,\\ a-b-4=2a-20. \end{cases}$$

   Упростим:

   $$\begin{cases} a-b=10,\\ -a-b=-16. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$-2b=-6 \Rightarrow b=3.$$

   Тогда

   $$a-b=10 \Rightarrow a=13.$$

2. б) Подставим $$x=-4$$ и $$y=-6$$ в систему:

   $$\begin{cases} (a+1)(-4)-b(-6)=2b,\\ a(-4)+(b+1)(-6)=5a. \end{cases}$$

   Получаем:

   $$\begin{cases} -4a-4+6b=2b,\\ -4a-6b-6=5a. \end{cases}$$

   Упростим:

   $$\begin{cases} -2a+2b=2,\\ -9a-6b=6. \end{cases}$$

   Разделим первое уравнение на $$2$$, второе на $$3$$:

   $$\begin{cases} -a+b=1,\\ -3a-2b=2. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$b=a+1.$$

   Подставим во второе:

   $$-3a-2(a+1)=2$$

   $$-5a-2=2$$

   $$-5a=4 \Rightarrow a=-0{,}8.$$

   Тогда

   $$b=a+1=0{,}2.$$

Ответ

а) $$a=13,\ b=3$$; б) $$a=-0{,}8,\ b=0{,}2$$.