Упр.15.17 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ и $$b$$ решением системы уравнений:

а) $$\begin{cases} ax+by=36,\\ ax-by=8 \end{cases}$$ является пара чисел $$(2;-1)$$;

б) $$\begin{cases} ax+by=2a,\\ ax-by=16 \end{cases}$$ является пара чисел $$(-1;2)$$;

в) $$\begin{cases} ax+by=4,\\ ax-by=-24 \end{cases}$$ является пара чисел $$(1;-2)$$;

г) $$\begin{cases} ax+by=18,\\ ax-by=a+2 \end{cases}$$ является пара чисел $$(-2;1)$$?

1. Подставим в систему заданную пару чисел $$x=2,\ y=-1$$:

   $$\begin{cases} 2a-b=36,\\ 2a+b=8. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$4a=44,$$

   откуда

   $$a=11.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$2\cdot 11-b=36,$$

   $$b=-14.$$

2. Подставим $$x=-1,\ y=2$$:

   $$\begin{cases} -a+2b=2a,\\ -a-2b=16. \end{cases}$$

   Преобразуем:

   $$\begin{cases} -3a+2b=0,\\ -a-2b=16. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$-4a=16,$$

   значит,

   $$a=-4.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$4-2b=16,$$

   $$b=-6.$$

3. Подставим $$x=1,\ y=-2$$:

   $$\begin{cases} a-2b=4,\\ a+2b=-24. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$2a=-20,$$

   откуда

   $$a=-10.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$-10-2b=4,$$

   $$-2b=14,$$

   $$b=-7.$$

4. Подставим $$x=-2,\ y=1$$:

   $$\begin{cases} -2a+b=18,\\ -2a-b=a+2. \end{cases}$$

   Второе уравнение преобразуем:

   $$-3a-b=2.$$

   Решим систему:

   $$\begin{cases} -2a+b=18,\\ -3a-b=2. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$-5a=20,$$

   значит,

   $$a=-4.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$8+b=18,$$

   $$b=10.$$

Ответ

а) $$a=11,\ b=-14$$; б) $$a=-4,\ b=-6$$; в) $$a=-10,\ b=-7$$; г) $$a=-4,\ b=10$$.