Дополнительная задача 15 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- 7. Три прямые $$l_1$$, $$l_2$$ и $$l_3$$ являются графиками линейных функций $$y=3-(2-x)$$, $$y=5-(4-(3-x))$$ и $$y=7-(6-(5-(4-x)))$$ соответственно. Какие из утверждений «а» — «е» верны:
а) $$l_1$$ и $$l_2$$ не имеют общих точек;
б) $$l_2$$ и $$l_3$$ не имеют общих точек;
в) $$l_1$$ и $$l_3$$ не имеют общих точек;
г) $$l_1$$ и $$l_2$$ пересекаются в точке из первой координатной четверти;
д) $$l_2$$ и $$l_3$$ пересекаются в точке из второй координатной четверти;
е) $$l_1$$ пересекает ось ординат выше, чем её пересекает $$l_3$$?
Упростим уравнения прямых:
$$y=3-(2-x)=3-2+x=x+1$$
$$y=5-(4-(3-x))=5-4+3-x=-x+4$$
$$y=7-(6-(5-(4-x)))=7-6+5-4+x=x+2$$
Получаем:
$$l_1: y=x+1,\quad l_2: y=-x+4,\quad l_3: y=x+2.$$
а) $$l_1$$ и $$l_2$$ не имеют общих точек — неверно, так как их угловые коэффициенты различны, значит, прямые пересекаются.
б) $$l_2$$ и $$l_3$$ не имеют общих точек — неверно, так как $$-1 \ne 1$$, следовательно, прямые пересекаются.
в) $$l_1$$ и $$l_3$$ не имеют общих точек — верно, так как их угловые коэффициенты равны: $$k_1=k_3=1$$, а свободные члены различны. Значит, прямые параллельны и общих точек не имеют.
г) Найдём точку пересечения $$l_1$$ и $$l_2$$:
$$x+1=-x+4$$
$$2x=3$$
$$x=1{,}5$$
$$y=x+1=1{,}5+1=2{,}5$$
Точка пересечения $$\left(1{,}5;\,2{,}5\right)$$ лежит в первой координатной четверти, значит, утверждение верно.
д) Найдём точку пересечения $$l_2$$ и $$l_3$$:
$$-x+4=x+2$$
$$-2x=-2$$
$$x=1$$
$$y=-x+4=3$$
Точка пересечения $$\left(1;\,3\right)$$ лежит в первой координатной четверти, значит, утверждение неверно.
е) Найдём точки пересечения с осью ординат:
$$l_1:\ y=0+1=1 \Rightarrow (0;1)$$
$$l_3:\ y=0+2=2 \Rightarrow (0;2)$$
Прямая $$l_1$$ пересекает ось $$Oy$$ ниже, чем $$l_3$$, значит, утверждение неверно.
Ответ
в), г)
