Упр.14.22 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова 7 класс, Мнемозина: Решите систему уравнений:

1. а)
   $$\begin{cases} \dfrac{5x-3+9y}{3}=\dfrac{2x+3y-2}{2},\\[4pt] \dfrac{x-3y}{2}=\dfrac{2x-3y}{3} \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$6$$, второе — на $$6$$:
   $$\begin{cases} 2(5x-3+9y)=3(2x+3y-2),\\ 3(x-3y)=2(2x-3y) \end{cases}$$
   Получаем:
   $$\begin{cases} 10x-6+18y=6x+9y-6,\\ 3x-9y=4x-6y \end{cases}$$
   Преобразуем:
   $$\begin{cases} 4x+9y=0,\\ -x=3y \end{cases}$$
   Из второго уравнения $$x=-3y$$. Подставим в первое:
   $$4(-3y)+9y=0$$
   $$-12y+9y=0$$
   $$-3y=0,\quad y=0$$
   Тогда $$x=0$$.

   Ответ: $$(0;0)$$

2. б)
   $$\begin{cases} \dfrac{2x-y}{6}+\dfrac{2x+y}{9}=3,\\[4pt] \dfrac{x+y}{3}-\dfrac{x-y}{4}=4 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$18$$, второе — на $$12$$:
   $$\begin{cases} 3(2x-y)+2(2x+y)=54,\\ 4(x+y)-3(x-y)=48 \end{cases}$$
   Тогда:
   $$\begin{cases} 6x-3y+4x+2y=54,\\ 4x+4y-3x+3y=48 \end{cases}$$
   $$\begin{cases} 10x-y=54,\\ x+7y=48 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$x=48-7y$$
   Подставим в первое:
   $$10(48-7y)-y=54$$
   $$480-70y-y=54$$
   $$-71y=-426$$
   $$y=6$$
   Тогда
   $$x=48-7\cdot 6=6$$

   Ответ: $$(6;6)$$

3. в)
   $$\begin{cases} \dfrac{x+3-5y}{2}=\dfrac{3x-4y+3}{3},\\[4pt] \dfrac{6+3x-y}{3}=\dfrac{12x-y}{4} \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$6$$, второе — на $$12$$:
   $$\begin{cases} 3(x+3-5y)=2(3x-4y+3),\\ 4(6+3x-y)=3(12x-y) \end{cases}$$
   Раскроем скобки:
   $$\begin{cases} 3x+9-15y=6x-8y+6,\\ 24+12x-4y=36x-3y \end{cases}$$
   Приведём подобные:
   $$\begin{cases} -3x-7y=-3,\\ -24x-y=-24 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=24-24x$$
   Подставим в первое:
   $$-3x-7(24-24x)=-3$$
   $$-3x-168+168x=-3$$
   $$165x=165$$
   $$x=1$$
   Тогда
   $$y=24-24\cdot 1=0$$

   Ответ: $$(1;0)$$

4. г)
   $$\begin{cases} \dfrac{x+y}{8}+\dfrac{x-y}{6}=5,\\[4pt] \dfrac{x+y}{4}+\dfrac{x-y}{5}=10 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$24$$, второе — на $$20$$:
   $$\begin{cases} 3(x+y)+4(x-y)=120,\\ 5(x+y)+4(x-y)=200 \end{cases}$$
   Получаем:
   $$\begin{cases} 7x-y=120,\\ 9x+y=200 \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$16x=320$$
   $$x=20$$
   Подставим в первое:
   $$7\cdot 20-y=120$$
   $$140-y=120$$
   $$y=20$$

   Ответ: $$(20;20)$$