Дополнительная задача 13 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

1. Пусть даны последовательные числа $$n$$ и $$n+1$$. Тогда одно из них чётное, другое нечётное, значит
   $$n(n+1)$$ — чётное число.
2. Пусть даны последовательные чётные числа $$2n$$ и $$2n+2$$. Тогда
   $$2n(2n+2)=4n(n+1).$$
   Так как произведение $$n(n+1)$$ чётно, то $$4n(n+1)$$ кратно $$8$$.
3. Пусть даны последовательные чётные числа $$2n$$ и $$2n+2$$. Тогда
   $$(2n+2)^2-(2n)^2=4n^2+8n+4-4n^2=8n+4=4(2n+1).$$
   Следовательно, разность квадратов кратна $$4$$.
4. Пусть даны последовательные нечётные числа $$2n+1$$ и $$2n+3$$. Тогда
   $$(2n+3)^2-(2n+1)^2=4n^2+12n+9-(4n^2+4n+1)=8n+8=8(n+1).$$
   Значит, разность квадратов кратна $$8$$.
5. Если разность квадратов чётна, то числа $$n$$ и $$m$$ одной чётности: оба чётные или оба нечётные.
   Тогда в любом случае числа $$n-m$$ и $$n+m$$ чётные, а значит
   $$n^2-m^2=(n-m)(n+m)$$
   делится на $$4$$.
6. Рассмотрим возможные случаи.
   • Если $$n=2a$$ и $$m=2b$$, то
     $$n^2-m^2=(2a)^2-(2b)^2=4(a^2-b^2),$$
     то есть остаток при делении на $$4$$ равен $$0$$.
   • Если $$n=2a+1$$ и $$m=2b+1$$, то
     $$n^2-m^2=(2a+1)^2-(2b+1)^2=4(a^2-b^2+a-b),$$
     значит, остаток тоже равен $$0$$.
   • Если $$n=2a$$, а $$m=2b+1$$, то
     $$n^2-m^2=(2a)^2-(2b+1)^2=4a^2-4b^2-4b-1=4(a^2-b^2-b)-1,$$
     то есть остаток при делении на $$4$$ равен $$3$$.

   Следовательно, разность квадратов при делении на $$4$$ не может давать в остатке $$2$$.

Ответ

а) чётно; б) кратно 8; в) кратно 4; г) кратно 8; д) кратно 4; е) остаток 2 невозможен.