Дополнительная задача 13 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

а) произведение двух последовательных чисел чётно;
б) произведение двух последовательных чётных чисел кратно 8;
в) разность квадратов двух последовательных чётных чисел кратна 4;
г) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел кратна 8;
д) если разность квадратов чётна, то она кратна 4;
е) разность квадратов при делении на 4 не может давать в остатке 2.

Подробный ответ

Пусть даны последовательные числа $$n$$ и $$n+1$$. Тогда одно из них чётное, а другое нечётное, значит их произведение чётно:
$$n(n+1)$$
Пусть даны последовательные чётные числа $$2n$$ и $$2n+2$$. Тогда
$$2n(2n+2)=4n(n+1).$$
Произведение $$n(n+1)$$ чётно, значит $$4n(n+1)$$ кратно $$8$$.
Пусть даны последовательные чётные числа $$2n$$ и $$2n+2$$. Тогда
$$ (2n+2)^2-(2n)^2=4n^2+8n+4-4n^2=8n+4=4(2n+1). $$
Следовательно, разность квадратов кратна $$4$$.
Пусть даны последовательные нечётные числа $$2n+1$$ и $$2n+3$$. Тогда
$$ (2n+3)^2-(2n+1)^2=4n^2+12n+9-(4n^2+4n+1)=8n+8=8(n+1). $$
Значит, разность квадратов кратна $$8$$.
Если разность квадратов двух целых чисел чётна, то числа одной чётности. Тогда возможны два случая.
1) Оба числа чётные: $$n=2a,\ m=2b$$. Тогда
$$ n^2-m^2=(2a)^2-(2b)^2=4a^2-4b^2=4(a^2-b^2), $$
то есть разность квадратов кратна $$4$$.
2) Оба числа нечётные: $$n=2a+1,\ m=2b+1$$. Тогда
$$ n^2-m^2=(2a+1)^2-(2b+1)^2=4a^2+4a+1-(4b^2+4b+1) $$
$$ =4(a^2-b^2+a-b), $$
то есть снова кратна $$4$$.
Рассмотрим разность квадратов по модулю $$4$$.
Если числа одной чётности, то разность квадратов кратна $$4$$, значит остаток при делении на $$4$$ равен $$0$$.
Если одно число чётное, а другое нечётное, то
$$ (2a)^2-(2b+1)^2=4a^2-(4b^2+4b+1)=4(a^2-b^2-b)-1, $$
то есть при делении на $$4$$ получается остаток $$3$$ или $$1$$ в зависимости от порядка вычитания. Остаток $$2$$ невозможен.