Дополнительная задача 12 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) если разность двух чисел чётна, то чётна и их сумма;
б) если сумма двух чисел чётна, то чётна и их разность;
в) если разность двух чисел нечётна, то нечётна и их сумма;
г) если сумма двух чисел нечётна, то нечётна и их разность;
д) если квадрат разности чётен, то он делится на 4 без остатка;
е) квадрат числа либо кратен 4, либо даёт при делении на 4 остаток 1.

1. Пусть разность двух целых чисел чётна. Тогда эти числа имеют одинаковую чётность: оба чётные или оба нечётные.

   Если оба числа чётные, то их сумма чётна. Если оба нечётные, то их сумма тоже чётна. Значит, сумма чётна.

2. Пусть сумма двух целых чисел чётна. Тогда эти числа имеют одинаковую чётность: оба чётные или оба нечётные.

   Если оба числа чётные, то их разность чётна. Если оба нечётные, то их разность тоже чётна. Значит, разность чётна.

3. Пусть разность двух целых чисел нечётна. Тогда числа имеют разную чётность: одно чётное, другое нечётное.

   Сумма чётного и нечётного чисел нечётна. Значит, сумма нечётна.

4. Пусть сумма двух целых чисел нечётна. Тогда числа имеют разную чётность: одно чётное, другое нечётное.

   Разность чётного и нечётного чисел нечётна. Значит, разность нечётна.

5. Если квадрат разности двух целых чисел чётен, то сама разность чётна.

   Пусть разность равна $$2k$$, где $$k$$ — целое число. Тогда

   $$ (2k)^2 = 4k^2, $$

   то есть квадрат разности делится на $$4$$ без остатка.

6. Любое целое число либо чётное, либо нечётное.

   Если число чётное, то оно имеет вид $$2n$$, и тогда

   $$ (2n)^2 = 4n^2, $$

   то есть квадрат кратен $$4$$.

   Если число нечётное, то оно имеет вид $$2m+1$$, и тогда

   $$ (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4(m^2+m)+1, $$

   значит, при делении на $$4$$ квадрат даёт остаток $$1$$.

Ответ

а) сумма чётна; б) разность чётна; в) сумма нечётна; г) разность нечётна; д) квадрат разности делится на 4; е) квадрат числа либо кратен 4, либо даёт при делении на 4 остаток 1.