Дополнительная задача 12 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Найдите наименьшее натуральное число $$n$$, при котором $$0{,}5^n$$ будет меньше:

а) $$\frac{1}{2}$$; б) $$\frac{1}{7}$$; в) $$\frac{2}{17}$$; г) $$\frac{3}{97}$$; д) $$0{,}01$$; е) $$0{,}001$$.

Так как $$0{,}5=\frac12,$$ то

$$0{,}5^n=\left(\frac12\right)^n.$$

Степени числа $$\frac12$$ убывают при увеличении $$n$$, поэтому для каждого пункта подбираем наименьшее натуральное $$n$$, при котором выполняется неравенство.

1. $$\left(\frac12\right)^1=\frac12,$$

   $$\left(\frac12\right)^2=\frac14<\frac12.$$

   Значит, $$n=2.$$

2. $$\left(\frac12\right)^2=\frac14>\frac17,$$

   $$\left(\frac12\right)^3=\frac18<\frac17.$$

   Значит, $$n=3.$$

3. $$\left(\frac12\right)^3=\frac18>\frac{2}{17},$$

   $$\left(\frac12\right)^4=\frac1{16}<\frac{2}{17}.$$

   Значит, $$n=4.$$

4. $$\left(\frac12\right)^5=\frac1{32}>\frac3{97},$$

   $$\left(\frac12\right)^6=\frac1{64}<\frac3{97}.$$

   Значит, $$n=6.$$

5. $$0{,}01=\frac1{100},$$

   $$\left(\frac12\right)^6=\frac1{64}>\frac1{100},$$

   $$\left(\frac12\right)^7=\frac1{128}<\frac1{100}.$$

   Значит, $$n=7.$$

6. $$0{,}001=\frac1{1000},$$

   $$\left(\frac12\right)^9=\frac1{512}>\frac1{1000},$$

   $$\left(\frac12\right)^{10}=\frac1{1024}<\frac1{1000}.$$

   Значит, $$n=10.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$3$$; в) $$4$$; г) $$6$$; д) $$7$$; е) $$10$$.