Дополнительная задача 12 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Для целых чисел докажите, что:

1. если разность двух чисел чётна, то чётна и их сумма;
2. если сумма двух чисел чётна, то чётна и их разность;
3. если разность двух чисел нечётна, то нечётна и их сумма;
4. если сумма двух чисел нечётна, то нечётна и их разность;
5. квадрат разности чётен, то он делится на 4 без остатка;
6. квадрат числа либо кратен 4, либо даёт при делении на 4 остаток 1.

1. а) Если разность двух целых чисел чётна, то числа имеют одинаковую чётность: оба чётные или оба нечётные.

   В обоих случаях их сумма чётна.

2. б) Если сумма двух целых чисел чётна, то числа имеют одинаковую чётность: оба чётные или оба нечётные.

   В обоих случаях их разность чётна.

3. в) Если разность двух целых чисел нечётна, то числа имеют разную чётность: одно чётное, другое нечётное.

   Сумма чётного и нечётного чисел нечётна.

4. г) Если сумма двух целых чисел нечётна, то числа имеют разную чётность: одно чётное, другое нечётное.

   Разность чётного и нечётного чисел нечётна.

5. д) Если квадрат разности двух целых чисел чётен, то сама разность чётна.

   Пусть разность равна $$n-m=2k$$. Тогда

   $$(n-m)^2=(2k)^2=4k^2,$$

   то есть квадрат разности делится на 4 без остатка.

6. е) Пусть целое число имеет вид $$2n$$ или $$2n+1$$.

   Если число чётное, то

   $$(2n)^2=4n^2,$$

   значит, квадрат кратен 4.

   Если число нечётное, то

   $$(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4(n^2+n)+1,$$

   значит, при делении на 4 квадрат даёт остаток 1.

Ответ

а) чётна; б) чётна; в) нечётна; г) нечётна; д) делится на 4 без остатка; е) квадрат числа либо кратен 4, либо даёт при делении на 4 остаток 1.