Дополнительная задача 10 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

а) 2^n · 2^k = 128; г) (5^n)^k = 25^3;
б) 3^n · 9^k = 243; д) (10^n)^k = 1 000 000;
в) 16^n · 4^k = 1024; е) 2^n(2^(n+1))^(k+1) = 256?

Подробный ответ

а) $$2^n \cdot 2^k = 128$$
$$2^{n+k}=2^7$$
$$n+k=7$$
Натуральные пары $$\left(n,k\right)$$: $$\left(1,6\right), \left(2,5\right), \left(3,4\right), \left(4,3\right), \left(5,2\right), \left(6,1\right)$$.
Итак, решений 6.
б) $$3^n \cdot 9^k = 243$$
$$3^n \cdot \left(3^2\right)^k = 3^5$$
$$3^{n+2k}=3^5$$
$$n+2k=5$$
Подходящие натуральные значения:
$$k=1,\ n=3;\qquad k=2,\ n=1.$$
Итак, решений 2.
в) $$16^n \cdot 4^k = 1024$$
$$\left(2^4\right)^n \cdot \left(2^2\right)^k = 2^{10}$$
$$2^{4n+2k}=2^{10}$$
$$4n+2k=10$$
$$2n+k=5$$
Подходящие натуральные значения:
$$n=1,\ k=3;\qquad n=2,\ k=1.$$
Итак, решений 2.
г) $$\left(5^n\right)^k = 25^3$$
$$5^{nk}=\left(5^2\right)^3=5^6$$
$$nk=6$$
Натуральные разложения числа $$6$$:
$$6=1\cdot 6=2\cdot 3=3\cdot 2=6\cdot 1$$
Значит, решений 4.
д) $$\left(10^n\right)^k = 1\,000\,000$$
$$10^{nk}=10^6$$
$$nk=6$$
Как и в предыдущем пункте, число $$6$$ имеет 4 разложения на натуральные множители.
Значит, решений 4.
е) $$2^n\left(2^{n+1}\right)^{k+1}=256$$
$$2^n \cdot 2^{(n+1)(k+1)}=2^8$$
$$n+(n+1)(k+1)=8$$
Проверим натуральные значения $$n$$:
Если $$n=1$$, то $$1+2(k+1)=8$$, откуда $$k=\frac{5}{2}$$ — не подходит.
Если $$n=2$$, то $$2+3(k+1)=8$$, откуда $$k=1$$ — подходит.
Если $$n=3$$, то $$3+4(k+1)=8$$, откуда $$k=\frac14$$ — не подходит.
Если $$n=4$$, то $$4+5(k+1)=8$$, откуда $$k=-\frac15$$ — не подходит.
Дальше проверять не нужно, так как значения $$k$$ будут отрицательными.
Итак, решений 1.