Дополнительная задача 1 Глава 7 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
а) 2n + 2^(n+1) + 2^(n+2) кратно 7;
б) 2^n — 2^(n+1) + 2^(n+2) кратно 3;
в) 3^n + 3^(n+1) + 3^(n+3) кратно 31;
г) 3^n — 3^(n+2) + 3^(n+3) кратно 19;
д) 5^(2n-1) + 5^(2n+1) + 5^(2n+3) кратно 3;
е) 5^n + 5^(n+1) + 5^(n+2) + 5^(n+3) кратно 13.
Для каждого двузначного числа 10, 11, 12, …, 99 нашли и записали сумму его цифр.
а) Сколько всего чисел записали?
б) Чему равно наименьшее из записанных чисел?
в) Чему равно наибольшее из записанных чисел?
г) Сколько раз повторена сумма, равная 5?
д) Сколько раз повторена сумма, равная 15?
е) Запишите упорядоченный ряд всех сумм.
а) Вынесем общий множитель:
$$2^n+2^{n+1}+2^{n+2}=2^n(1+2+4)=2^n\cdot 7,$$
значит, число кратно $$7$$.
б)
$$2^n-2^{n+1}+2^{n+2}=2^n(1-2+4)=2^n\cdot 3,$$
значит, число кратно $$3$$.
в)
$$3^n+3^{n+1}+3^{n+3}=3^n(1+3+27)=3^n\cdot 31,$$
значит, число кратно $$31$$.
г)
$$3^n-3^{n+2}+3^{n+3}=3^n(1-9+27)=3^n\cdot 19,$$
значит, число кратно $$19$$.
д)
$$5^{2n-1}+5^{2n+1}+5^{2n+3}=5^{2n-1}(1+5^2+5^4)=5^{2n-1}(1+25+625)=5^{2n-1}\cdot 651,$$
а число $$651$$ делится на $$3$$, значит, всё выражение кратно $$3$$.
е)
$$5^n+5^{n+1}+5^{n+2}+5^{n+3}=5^n(1+5+5^2+5^3)=5^n(1+5+25+125)=5^n\cdot 156,$$
а число $$156$$ делится на $$13$$, значит, всё выражение кратно $$13$$.
Во второй задаче рассматриваются все двузначные числа от $$10$$ до $$99$$. Их всего:
$$99-10+1=90.$$
Сумма цифр двузначного числа может быть от $$1$$ до $$18$$.
а) Всего записали $$90$$ чисел.
б) Наименьшая сумма равна $$1$$.
в) Наибольшая сумма равна $$18$$.
г) Сумма, равная $$5$$, встречается для чисел $$14, 23, 32, 41, 50$$, то есть $$5$$ раз.
д) Сумма, равная $$15$$, встречается для чисел $$69, 78, 87, 96$$, то есть $$4$$ раза.
е) Упорядоченный ряд всех сумм:
$$1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10,10,10,11,11,11,11,11,11,11,11,12,12,12,12,12,12,12,13,13,13,13,13,13,14,14,14,14,14,15,15,15,15,16,16,16,17,17,18.$$
Ответ
а) кратно $$7$$; б) кратно $$3$$; в) кратно $$31$$; г) кратно $$19$$; д) кратно $$3$$; е) кратно $$13$$.
Во второй задаче: а) $$90$$; б) $$1$$; в) $$18$$; г) $$5$$ раз; д) $$4$$ раза; е) см. упорядоченный ряд выше.
