Дополнительная задача 1 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) куб квадрата переменной а;
б) квадрат удвоенного куба переменной b;
в) половина произведения квадрата а и куба b;
г) 175 процентов произведения а и b;
д) произведение квадрата удвоенного куба а и куба половины квадрата b;
е) четверть четвёртой степени че
Докажите, что для всех натуральных n число:
а) 2n + 2^(n+1) + 2^(n+2) кратно 7;
б) 2^n — 2^(n+1) + 2^(n+2) кратно 3;
в) 3^n + 3^(n+1) + 3^(n+3) кратно 31;
г) 3^n — 3^(n+2) + 3^(n+3) кратно 19;
д) 5^(2n-1) + 5^(2n+1) + 5^(2n+3) кратно 3;
е) 5^n + 5^(n+1) + 5^(n+2) + 5^(n+3) кратно 13.

1. Составим одночлены по словесному описанию:

   а) куб квадрата переменной $$a$$:
   $$\left(a^2\right)^3=a^6$$

   б) квадрат удвоенного куба переменной $$b$$:
   $$\left(2b^3\right)^2=4b^6$$

   в) половина произведения квадрата $$a$$ и куба $$b$$:
   $$\frac12 a^2b^3=0{,}5a^2b^3$$

   г) 175 процентов произведения $$a$$ и $$b$$:
   $$1{,}75ab$$

   д) произведение квадрата удвоенного куба $$a$$ и куба половины квадрата $$b$$:
   $$\left(2a^3\right)^2\left(\frac{b^2}{2}\right)^3=4a^6\cdot\frac{b^6}{8}=0{,}5a^6b^6$$

   е) четверть четвёртой степени числа $$\frac{a}{4}$$:
   $$\frac14\left(\frac{a}{4}\right)^4=\frac14\cdot\frac{a^4}{256}=\frac{a^4}{1024}$$

2. Докажем делимость выражений, вынося общий множитель:

   а)
   $$2^n+2^{n+1}+2^{n+2}=2^n(1+2+4)=2^n\cdot 7,$$
   значит, число кратно $$7$$.

   б)
   $$2^n-2^{n+1}+2^{n+2}=2^n(1-2+4)=2^n\cdot 3,$$
   значит, число кратно $$3$$.

   в)
   $$3^n+3^{n+1}+3^{n+3}=3^n(1+3+27)=3^n\cdot 31,$$
   значит, число кратно $$31$$.

   г)
   $$3^n-3^{n+2}+3^{n+3}=3^n(1-9+27)=3^n\cdot 19,$$
   значит, число кратно $$19$$.

   д)
   $$5^{2n-1}+5^{2n+1}+5^{2n+3}=5^{2n-1}(1+5^2+5^4)=5^{2n-1}(1+25+625)=5^{2n-1}\cdot 651,$$
   а $$651$$ делится на $$3$$, значит, выражение кратно $$3$$.

   е)
   $$5^n+5^{n+1}+5^{n+2}+5^{n+3}=5^n(1+5+25+125)=5^n\cdot 156,$$
   а $$156$$ делится на $$13$$, значит, выражение кратно $$13$$.

Ответ

а) $$a^6$$; б) $$4b^6$$; в) $$0{,}5a^2b^3$$; г) $$1{,}75ab$$; д) $$0{,}5a^6b^6$$; е) $$\frac{a^4}{1024}$$.
а) кратно $$7$$; б) кратно $$3$$; в) кратно $$31$$; г) кратно $$19$$; д) кратно $$3$$; е) кратно $$13$$.