Дополнительная задача 1 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

а) первая цифра меньше второй и третьей, которые равны между собой;
б) вторая цифра равна первой, которая в два раза меньше третьей;
в) вторая цифра равна третьей, которая на 6 меньше первой;
г) первая цифра на 1 больше второй, а третья на 2 больше их суммы;
д) вторая цифра на 3 больше третьей, которая на 3 больше первой;
е) все цифры разные, а сумма первой и третьей цифр в три раза больше второй цифры.

Подробный ответ

Пусть трёхзначное число имеет вид $$abc$$, где $$a$$ — сотни, $$b$$ — десятки, $$c$$ — единицы. Тогда

$$a+b+c=12.$$

$$a<b,\quad a<c,\quad b=c.$$
Тогда
$$a+2b=12,\quad a=12-2b.$$
Проверяем возможные значения $$b$$:
$$b=5 \Rightarrow a=2.$$
Получаем число $$255$$.
$$a=b,\quad c=2b.$$
Тогда
$$b+b+2b=12,$$
$$4b=12,\quad b=3.$$
Значит, $$a=3,\ c=6$$, число $$336$$.
$$b=c,\quad a=b+6.$$
Тогда
$$a+b+c=12,$$
$$ (b+6)+b+b=12,$$
$$3b+6=12,\quad 3b=6,\quad b=2.$$
Следовательно, $$a=8,\ c=2$$, число $$822$$.
$$a=b+1,\quad c=(a+b)+2.$$
Подставим в сумму цифр:
$$a+b+c=12,$$
$$ (b+1)+b+\bigl((b+1)+b+2\bigr)=12,$$
$$4b+4=12,\quad 4b=8,\quad b=2.$$
Тогда $$a=3,\ c=7$$, число $$327$$.
$$b=c+3,\quad c=a+3.$$
Тогда
$$a+b+c=12,$$
$$a+(a+3+3)+(a+3)=12,$$
$$3a+9=12,\quad 3a=3,\quad a=1.$$
Следовательно, $$c=4,\ b=7$$, число $$174$$.
$$a,\ b,\ c$$ — разные цифры, а сумма первой и третьей цифр в три раза больше второй:
$$a+c=3b.$$
Из условия суммы цифр:
$$a+b+c=12.$$
Подставим $$a+c=3b$$:
$$3b+b=12,$$
$$4b=12,\quad b=3.$$
Тогда $$a+c=9$$. Подходящие пары разных цифр:
$$a=1,\ c=8;\quad a=2,\ c=7;\quad a=4,\ c=5;\quad a=5,\ c=4;\quad a=7,\ c=2;\quad a=8,\ c=1.$$
Получаем числа $$138,\ 237,\ 435,\ 534,\ 732,\ 831.$$