Дополнительная задача 1 Глава 7 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Докажите, что для всех натуральных $$n$$ число:
а) $$2n+2^{n+1}+2^{n+2}$$ кратно $$7$$;
б) $$2^n-2^{n+1}+2^{n+2}$$ кратно $$3$$;
в) $$3^n+3^{n+1}+3^{n+3}$$ кратно $$31$$;
г) $$3^n-3^{n+2}+3^{n+3}$$ кратно $$19$$;
д) $$5^{2n-1}+5^{2n+1}+5^{2n+3}$$ кратно $$3$$;
е) $$5^n+5^{n+1}+5^{n+2}+5^{n+3}$$ кратно $$13$$. - Для каждого двузначного числа $$10, 11, 12, \ldots, 99$$ нашли и записали сумму его цифр.
а) Сколько всего чисел записали?
б) Чему равно наименьшее из записанных чисел?
в) Чему равно наибольшее из записанных чисел?
г) Сколько раз повторена сумма, равная $$5$$?
д) Сколько раз повторена сумма, равная $$15$$?
е) Запишите упорядоченный ряд всех сумм.
а) Вынесем общий множитель:
$$2^n+2^{n+1}+2^{n+2}=2^n(1+2+4)=2^n\cdot 7,$$
значит, число кратно $$7$$.
б)
$$2^n-2^{n+1}+2^{n+2}=2^n(1-2+4)=2^n\cdot 3,$$
значит, число кратно $$3$$.
в)
$$3^n+3^{n+1}+3^{n+3}=3^n(1+3+27)=3^n\cdot 31,$$
значит, число кратно $$31$$.
г)
$$3^n-3^{n+2}+3^{n+3}=3^n(1-9+27)=3^n\cdot 19,$$
значит, число кратно $$19$$.
д)
$$5^{2n-1}+5^{2n+1}+5^{2n+3}=5^{2n-1}(1+5^2+5^4)=5^{2n-1}(1+25+625)=5^{2n-1}\cdot 651,$$
а число $$651$$ делится на $$3$$, значит, всё выражение кратно $$3$$.
е)
$$5^n+5^{n+1}+5^{n+2}+5^{n+3}=5^n(1+5+5^2+5^3)=5^n(1+5+25+125)=5^n\cdot 156,$$
а число $$156$$ делится на $$13$$, значит, всё выражение кратно $$13$$.
Во второй задаче рассматриваются все двузначные числа от $$10$$ до $$99$$. Их всего:
$$99-10+1=90.$$
Сумма цифр двузначного числа может быть от $$1$$ до $$18$$.
а) Всего записали $$90$$ чисел.
б) Наименьшая сумма равна $$1$$.
в) Наибольшая сумма равна $$18$$.
г) Сумма, равная $$5$$, встречается для чисел $$14, 23, 32, 41, 50$$, то есть $$5$$ раз.
д) Сумма, равная $$15$$, встречается для чисел $$69, 78, 87, 96$$, то есть $$4$$ раза.
е) Упорядоченный ряд всех сумм:
$$1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10,10,10,11,11,11,11,11,11,11,11,12,12,12,12,12,12,12,13,13,13,13,13,13,14,14,14,14,14,15,15,15,15,16,16,16,17,17,18.$$
Ответ
а) кратно $$7$$; б) кратно $$3$$; в) кратно $$31$$; г) кратно $$19$$; д) кратно $$3$$; е) кратно $$13$$.
Во второй задаче: а) $$90$$; б) $$1$$; в) $$18$$; г) $$5$$ раз; д) $$4$$ раза; е) см. упорядоченный ряд выше.
