Упр.1.31 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

1. Даны числа: $$45661; \ 7954; \ 83565; \ 756391.$$ Составьте из них такие пары, в которых оба числа дают одинаковый остаток от деления на: а) $$2$$; б) $$3$$; в) $$5$$; г) $$9$$.
2. Докажите, что значение выражения равно нулю при любых допустимых значениях переменных: а) $$\frac{2\cdot(3x+y)-(2x-y)-3\cdot(x+y)}{2x-5y}$$; б) $$\frac{q-2\cdot(q+3p)+2\cdot(q+p)-(q+4p)}{q+2p}$$.

Найдём остатки от деления данных чисел на $$2$$, $$3$$, $$5$$ и $$9$$.

$$45661$$: сумма цифр $$4+5+6+6+1=22$$;
$$7954$$: сумма цифр $$7+9+5+4=25$$;
$$83565$$: сумма цифр $$8+3+5+6+5=27$$;
$$756391$$: сумма цифр $$7+5+6+3+9+1=31$$.

Тогда:

• на $$2$$ одинаковый остаток дают числа $$756391$$ и $$45661$$, а также $$756391$$ и $$83565$$, и $$45661$$ и $$83565$$;
• на $$3$$ одинаковый остаток дают числа $$7954$$ и $$45661$$, $$7954$$ и $$756391$$, $$45661$$ и $$756391$$;
• на $$5$$ одинаковый остаток дают числа $$45661$$ и $$756391$$;
• на $$9$$ одинаковый остаток дают числа $$45661$$ и $$756391$$.

Теперь упростим дробные выражения.

а)
$$\frac{2\cdot(3x+y)-(2x-y)-3\cdot(x+y)}{2x-5y}$$
Числитель:
$$2(3x+y)-(2x-y)-3(x+y)=6x+2y-2x+y-3x-3y=x.$$
Значит,
$$\frac{2\cdot(3x+y)-(2x-y)-3\cdot(x+y)}{2x-5y}=\frac{x}{2x-5y}.$$
Чтобы значение дроби было равно нулю, нужно $$x=0$$, при этом $$2x-5y\ne 0$$, то есть $$y\ne 0$$.

б)
$$\frac{q-2\cdot(q+3p)+2\cdot(q+p)-(q+4p)}{q+2p}$$
Числитель:
$$q-2(q+3p)+2(q+p)-(q+4p)=q-2q-6p+2q+2p-q-4p=-8p.$$
Следовательно,
$$\frac{q-2\cdot(q+3p)+2\cdot(q+p)-(q+4p)}{q+2p}=\frac{-8p}{q+2p}.$$
Значение дроби равно нулю при $$p=0$$, при этом $$q+2p\ne 0$$, то есть $$q\ne 0$$.

Ответ

а) На $$2$$: $$756391$$ и $$45661$$; $$756391$$ и $$83565$$; $$45661$$ и $$83565$$.
На $$3$$: $$7954$$ и $$45661$$; $$7954$$ и $$756391$$; $$45661$$ и $$756391$$.
На $$5$$: $$45661$$ и $$756391$$.
На $$9$$: $$45661$$ и $$756391$$.

а) При $$x=0$$, $$y\ne 0$$.
б) При $$p=0$$, $$q\ne 0$$.