Контрольная работа 8 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
2. Разложите на множители:
1) 36m^2 n^3 — 49m^4 n; 2) 50 + 20x + 2x^2.
3. График функции у = kx + b пересекает оси координат в точках А (2; 0) и В (0; -4). Найдите значения k и b.
4. Решите систему уравнений
{(3x-y=17, 2x+3y=-7).
5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение второго и четвёртого из этих чисел на 31 больше произведения первого и третьего.
6. Решите уравнение х^2 + у^2 — 8х + 12у + 52 = 0.
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$$ (7a+2b)^2-(3a-b)(4a+5b)=49a^2+28ab+4b^2-(12a^2+15ab-4ab-5b^2) $$
$$ =49a^2+28ab+4b^2-12a^2-11ab+5b^2=37a^2+17ab+9b^2 $$
1) Вынесем общий множитель:
$$ 36m^2n^3-49m^4n=m^2n(36n^2-49m^2) $$
Разность квадратов:
$$ 36n^2-49m^2=(6n-7m)(6n+7m) $$
Значит,
$$ 36m^2n^3-49m^4n=m^2n(6n-7m)(6n+7m) $$
2) Вынесем общий множитель и представим трёхчлен как квадрат суммы:
$$ 50+20x+2x^2=2(x^2+10x+25)=2(x+5)^2 $$
Для прямой $$y=kx+b$$ подставим координаты точки $$B(0;-4)$$:
$$ -4=k\cdot 0+b $$
$$ b=-4 $$
Теперь подставим координаты точки $$A(2;0)$$:
$$ 0=2k-4 $$
$$ 2k=4,\quad k=2 $$
Решим систему:
$$ \begin{cases} 3x-y=17,\\ 2x+3y=-7 \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$3$$:
$$ \begin{cases} 9x-3y=51,\\ 2x+3y=-7 \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 11x=44,\quad x=4 $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 3\cdot 4-y=17 $$
$$ 12-y=17,\quad y=-5 $$
Пусть четыре последовательных натуральных числа: $$n-1,\ n,\ n+1,\ n+2$$.
По условию:
$$ n(n+2)=(n-1)(n+1)+31 $$
$$ n^2+2n=n^2-1+31 $$
$$ 2n=30,\quad n=15 $$
Тогда числа:
$$ 14,\ 15,\ 16,\ 17 $$
Приведём уравнение к виду суммы квадратов:
$$ x^2+y^2-8x+12y+52=0 $$
$$ x^2-8x+16+y^2+12y+36=0 $$
$$ (x-4)^2+(y+6)^2=0 $$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$ x-4=0,\quad y+6=0 $$
$$ x=4,\quad y=-6 $$
Ответ
1) $$37a^2+17ab+9b^2$$; 2) $$m^2n(6n-7m)(6n+7m)$$, $$2(x+5)^2$$; 3) $$k=2,\ b=-4$$; 4) $$(4;\,-5)$$; 5) $$14,\ 15,\ 16,\ 17$$; 6) $$(4;\,-6)$$.
