Контрольная работа 8 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

2. Разложите на множители:
1) 25x^3 y^2 — 4xy^4; 2) 45 — 30а + 5а^2.
3. График функции у = kx + b пересекает оси координат в точках A (0; 4) и В (-2; 0). Найдите значения k и b.
4. Решите систему уравнений
{(4x+y=-10, 5x-2y=-19).
5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение третьего и четвёртого из этих чисел на 34 больше произведения первого и второго.
6. Решите уравнение х^2 + у^2 + 10х + 6у + 34 = 0.

1. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

   $$ (4x-3y)^2-(2x+y)(3x-5y)=16x^2-24xy+9y^2-(6x^2-10xy+3xy-5y^2) $$

   $$ =16x^2-24xy+9y^2-6x^2+7xy+5y^2=10x^2-17xy+14y^2. $$

2. 1) Вынесем общий множитель:

   $$ 25x^3y^2-4xy^4=xy^2(25x^2-4y^2). $$

   Разность квадратов:

   $$ 25x^2-4y^2=(5x-2y)(5x+2y). $$

   Итак,

   $$ 25x^3y^2-4xy^4=xy^2(5x-2y)(5x+2y). $$

   2) Вынесем 5 за скобки и разложим квадратный трёхчлен:

   $$ 45-30a+5a^2=5(a^2-6a+9)=5(a-3)^2. $$

3. Подставим координаты точки $$A(0;4)$$ в формулу $$y=kx+b$$:

   $$ 4=0\cdot k+b \Rightarrow b=4. $$

   Подставим координаты точки $$B(-2;0)$$:

   $$ 0=-2k+4 \Rightarrow 2k=4 \Rightarrow k=2. $$

4. Решим систему:

   $$ \begin{cases} 4x+y=-10,\\ 5x-2y=-19. \end{cases} $$

   Умножим первое уравнение на 2:

   $$ \begin{cases} 8x+2y=-20,\\ 5x-2y=-19. \end{cases} $$

   Сложим уравнения:

   $$ 13x=-39 \Rightarrow x=-3. $$

   Подставим в первое уравнение:

   $$ 4(-3)+y=-10 \Rightarrow y=2. $$

5. Пусть четыре последовательных натуральных числа — это $$n-1, n, n+1, n+2$$.

   По условию:

   $$ (n+1)(n+2)=n(n-1)+34. $$

   Раскроем скобки:

   $$ n^2+3n+2=n^2-n+34 $$

   $$ 4n=32 \Rightarrow n=8. $$

   Тогда числа:

   $$ 7,\ 8,\ 9,\ 10. $$

6. Преобразуем уравнение к виду суммы квадратов:

   $$ x^2+y^2+10x+6y+34=0 $$

   $$ x^2+10x+25+y^2+6y+9=0 $$

   $$ (x+5)^2+(y+3)^2=0. $$

   Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

   $$ x+5=0,\quad y+3=0. $$

   Следовательно,

   $$ x=-5,\quad y=-3. $$

Ответ

1) $$10x^2-17xy+14y^2$$; 2) $$xy^2(5x-2y)(5x+2y)$$, $$5(a-3)^2$$; 3) $$k=2,\ b=4$$; 4) $$(-3;\ 2)$$; 5) $$7,\ 8,\ 9,\ 10$$; 6) $$(-5;\ -3)$$.