Контрольная работа 7 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

{(x-3y=8, 2x-y=6).
2. Решите методом сложения систему уравнений
{(4x-5y=-83, 2x+5y=29).
3. Решите графически систему уравнений {(x-y=5, x+2y=-1).
4. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 20 км, одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого пешехода, если известно, что первый пешеход проходит за 4 ч на 12 км больше, чем второй за 3 ч.
5. Решите систему уравнений:
1) {(7x+5y=19, 4x-3y=5); 2) {(3x-2y=6, 12x-8y=20).
6. При каком значении а система уравнений
{(4x+7y=6, ax-14y=-12) имеет бесконечно много решений?

1. Решим систему методом подстановки:

   $$ \begin{cases} x-3y=8,\\ 2x-y=6. \end{cases} $$

   Из первого уравнения выразим $$x$$:

   $$x=8+3y.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$ 2(8+3y)-y=6 $$
   $$ 16+6y-y=6 $$
   $$ 5y=-10 $$
   $$ y=-2. $$

   Тогда

   $$x=8+3\cdot(-2)=2.$$

2. Решим систему методом сложения:

   $$ \begin{cases} 4x-5y=-83,\\ 2x+5y=29. \end{cases} $$

   Сложим уравнения:

   $$ 6x=-54 $$
   $$ x=-9. $$

   Подставим во второе уравнение:

   $$ 2(-9)+5y=29 $$
   $$ -18+5y=29 $$
   $$ 5y=47 $$
   $$ y=9{,}4. $$

3. Запишем уравнения в виде функций:

   $$ \begin{cases} x-y=5,\\ x+2y=-1. \end{cases} $$

   $$ y=x-5, $$
   $$ 2y=-x-1, $$
   $$ y=-0{,}5x-0{,}5. $$

   Точка пересечения графиков: $$\left(3;\,-2\right).$$

4. Пусть скорость первого пешехода равна $$x$$ км/ч, а второго — $$y$$ км/ч.

   Тогда по условию:

   $$ \begin{cases} 2(x+y)=20,\\ 4x-3y=12. \end{cases} $$

   Получаем:

   $$ x+y=10, $$
   $$ x=10-y. $$

   Подставим во второе уравнение:

   $$ 4(10-y)-3y=12 $$
   $$ 40-7y=12 $$
   $$ -7y=-28 $$
   $$ y=4. $$

   Тогда

   $$x=10-4=6.$$

5. 1) Решим систему:

   $$ \begin{cases} 7x+5y=19,\\ 4x-3y=5. \end{cases} $$

   Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$5$$:

   $$ \begin{cases} 21x+15y=57,\\ 20x-15y=25. \end{cases} $$

   Сложим уравнения:

   $$ 41x=82 $$
   $$ x=2. $$

   Подставим во второе уравнение:

   $$ 4\cdot2-3y=5 $$
   $$ 8-3y=5 $$
   $$ y=1. $$

   2) Решим систему:

   $$ \begin{cases} 3x-2y=6,\\ 12x-8y=20. \end{cases} $$

   Умножим первое уравнение на $$4$$:

   $$ 12x-8y=24. $$

   Получаем противоречие:

   $$ 12x-8y=24,\qquad 12x-8y=20. $$

   Значит, система решений не имеет.

6. Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть пропорционально первому:

   $$ \begin{cases} 4x+7y=6,\\ ax-14y=-12. \end{cases} $$

   Умножим первое уравнение на $$-2$$:

   $$ -8x-14y=-12. $$

   Сравнивая с вторым уравнением, получаем:

   $$a=-8.$$

Ответ

1) $$\left(2;\,-2\right)$$; 2) $$\left(-9;\,9{,}4\right)$$; 3) $$\left(3;\,-2\right)$$; 4) $$6$$ км/ч и $$4$$ км/ч; 5) 1) $$\left(2;\,1\right)$$, 2) решений нет; 6) $$a=-8$$.