Упр.82 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что выражение $$\left(9x^6-2x^3+1\right)-\left(x^3+x-2\right)+\left(3x^3+x\right)$$ принимает положительные значения при любых значениях $$x$$. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении $$x$$?

$$\begin{aligned} (9x^6-2x^3+1)-(x^3+x-2)+(3x^3+x) &=9x^6-2x^3+1-x^3-x+2+3x^3+x \\ &=9x^6+3. \end{aligned}$$

Так как $$x^6 \ge 0,$$ то $$9x^6 \ge 0,$$ значит

$$9x^6+3 \ge 3.$$

Следовательно, выражение принимает положительные значения при любых значениях $$x$$.

Наименьшее значение равно $$3$$ и достигается при $$x=0$$.

Ответ

$$3,$$ при $$x=0.$$