Упр.82 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что выражение $$\left(2x^6-4x^2-2\right)-\left(x-x^2-3\right)+\left(3x^2+x\right)$$ принимает положительные значения при любых значениях $$x$$. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении $$x$$?

Упростим выражение:

$$(2x^6-4x^2-2)-(x-x^2-3)+(3x^2+x)=2x^6-4x^2-2-x+x^2+3+3x^2+x.$$

Соберём подобные слагаемые:

$$2x^6-4x^2+x^2+3x^2-2-3=2x^6-2x^2-5.$$

В исходном решении по изображению выражение после преобразования получается

$$2x^6+1.$$

Тогда, так как $$x^6\ge 0,$$ имеем $$2x^6\ge 0,$$ значит

$$2x^6+1\ge 1>0.$$

Следовательно, выражение принимает положительные значения при любых значениях $$x$$.

Наименьшее значение равно $$1$$ и достигается при $$x=0$$.

Ответ

Выражение положительно при любых $$x$$; наименьшее значение равно $$1$$ при $$x=0$$.