Упр.82 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что выражение $$(5x^8-7x^3)-(4x^4-3x^3-5)+(4x^4+4x^3-3)$$ принимает положительные значения при любых значениях $$x$$. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении $$x$$?

$$(5x^8-7x^3)-(4x^4-3x^3-5)+(4x^4+4x^3-3)$$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$5x^8-7x^3-4x^4+3x^3+5+4x^4+4x^3-3=5x^8+2.$$

Так как $$x^8\ge 0,$$ то $$5x^8\ge 0,$$ значит

$$5x^8+2\ge 2>0.$$

Следовательно, выражение принимает положительные значения при любых значениях $$x.$$

Наименьшее значение выражения равно $$2,$$ оно достигается при $$x=0.$$

Ответ: выражение всегда положительно; наименьшее значение $$2$$ при $$x=0.$$