Контрольная работа 8 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Упростите выражение $$\left(7a+2b\right)^2-\left(3a-b\right)\left(4a+5b\right)$$.
- Разложите на множители:
1) $$36m^2n^3-49m^4n$$;
2) $$50+20x+2x^2$$. - График функции $$y=kx+b$$ пересекает оси координат в точках $$A(2;0)$$ и $$B(0;-4)$$. Найдите значения $$k$$ и $$b$$.
- Решите систему уравнений $$\begin{cases}3x-y=17,\\2x+3y=-7.\end{cases}$$
- Найдите четыре последовательных натуральных числа, такие, что произведение второго и четвёртого из этих чисел на 31 больше произведения первого и третьего.
- Решите уравнение $$x^2+y^2-8x+12y+52=0$$.
1. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$$(7a+2b)^2-(3a-b)(4a+5b)=49a^2+28ab+4b^2-(12a^2+15ab-4ab-5b^2)$$
$$=49a^2+28ab+4b^2-12a^2-11ab+5b^2=37a^2+17ab+9b^2.$$
2.
$$36m^2n^3-49m^4n=m^2n(36n^2-49m^2)=m^2n(6n-7m)(6n+7m).$$
$$50+20x+2x^2=2(25+10x+x^2)=2(x+5)^2.$$
3. Для функции $$y=kx+b$$ подставим координаты точки $$B(0;-4)$$:
$$-4=k\cdot 0+b \Rightarrow b=-4.$$
Подставим координаты точки $$A(2;0)$$:
$$0=2k-4 \Rightarrow 2k=4 \Rightarrow k=2.$$
Следовательно, $$k=2$$, $$b=-4$$.
4. Решим систему:
$$\begin{cases} 3x-y=17,\\ 2x+3y=-7. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$3$$:
$$\begin{cases} 9x-3y=51,\\ 2x+3y=-7. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$11x=44 \Rightarrow x=4.$$
Подставим в первое уравнение:
$$3\cdot 4-y=17 \Rightarrow 12-y=17 \Rightarrow y=-5.$$
Ответ: $$(4;-5)$$.
5. Пусть четыре последовательных натуральных числа — это $$n-1$$, $$n$$, $$n+1$$, $$n+2$$.
По условию:
$$n(n+2)=(n-1)(n+1)+31.$$
Тогда
$$n^2+2n=n^2-1+31=n^2+30,$$
$$2n=30,\quad n=15.$$
Искомые числа:
$$14,\ 15,\ 16,\ 17.$$
6. Преобразуем уравнение:
$$x^2+y^2-8x+12y+52=0$$
$$(x^2-8x+16)+(y^2+12y+36)=0$$
$$(x-4)^2+(y+6)^2=0.$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$x-4=0,\quad y+6=0.$$
Значит, $$x=4$$, $$y=-6$$.
Ответ: 1) $$37a^2+17ab+9b^2$$; 2) $$m^2n(6n-7m)(6n+7m)$$, $$2(x+5)^2$$; 3) $$k=2,\ b=-4$$; 4) $$(4;-5)$$; 5) $$14,\ 15,\ 16,\ 17$$; 6) $$(4;-6)$$.
