Контрольная работа 7 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Решите методом подстановки систему уравнений $$\begin{cases} x+4y=-6, \\ 3x-y=8. \end{cases}$$
- Решите методом сложения систему уравнений $$\begin{cases} 7x+3y=43, \\ 4x-3y=67. \end{cases}$$
- Решите графически систему уравнений $$\begin{cases} x+y=3, \\ 2x-y=3. \end{cases}$$
- Из двух городов, расстояние между которыми равно 52 км, одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого велосипедиста, если известно, что первый велосипедист проезжает за 3 ч на 18 км больше, чем второй за 2 ч.
- Решите систему уравнений:
1) $$\begin{cases} 3x-2y=5, \\ 11x+3y=39; \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} 5x-4y=8, \\ 15x-12y=18. \end{cases}$$ - При каком значении $$a$$ система уравнений $$\begin{cases} -3x+ay=-6, \\ 9x-3y=18 \end{cases}$$ имеет бесконечно много решений?
1) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$x+4y=-6 \Rightarrow 4y=-x-6 \Rightarrow y=\frac{-x-6}{4}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$3x-\frac{-x-6}{4}=8$$
$$12x+x+6=32$$
$$13x=26$$
$$x=2.$$
Тогда
$$y=3x-8=3\cdot 2-8=-2.$$
Ответ: $$\left(2;\,-2\right).$$
2) Сложим уравнения системы:
$$\begin{aligned} 7x+3y&=43,\\ 4x-3y&=67. \end{aligned}$$
$$11x=110,$$
$$x=10.$$
Подставим в первое уравнение:
$$7\cdot 10+3y=43$$
$$70+3y=43$$
$$3y=-27$$
$$y=-9.$$
Ответ: $$\left(10;\,-9\right).$$
3) Запишем уравнения в виде функций:
$$y=-x+3,$$
$$y=2x-3.$$
Точка пересечения графиков удовлетворяет обоим уравнениям, значит:
$$-x+3=2x-3$$
$$3x=6$$
$$x=2,$$
$$y=2\cdot 2-3=1.$$
Ответ: $$\left(2;\,1\right).$$
4) Пусть скорость первого велосипедиста равна $$x$$ км/ч, а второго — $$y$$ км/ч. Тогда за 2 часа они вместе проехали 52 км:
$$2(x+y)=52.$$
По условию:
$$3x-2y=18.$$
Получаем систему:
$$\begin{aligned} 2x+2y&=52,\\ 3x-2y&=18. \end{aligned}$$
Сложим уравнения:
$$5x=70,$$
$$x=14.$$
Тогда
$$2\cdot 14+2y=52$$
$$28+2y=52$$
$$2y=24$$
$$y=12.$$
Ответ: $$14$$ км/ч и $$12$$ км/ч.
5.1) Решим систему:
$$\begin{aligned} 3x-2y&=5,\\ 11x+3y&=39. \end{aligned}$$
Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$2$$:
$$\begin{aligned} 9x-6y&=15,\\ 22x+6y&=78. \end{aligned}$$
Сложим:
$$31x=93,$$
$$x=3.$$
Подставим в первое уравнение:
$$3\cdot 3-2y=5$$
$$9-2y=5$$
$$2y=4$$
$$y=2.$$
Ответ: $$\left(3;\,2\right).$$
5.2) Решим систему:
$$\begin{aligned} 5x-4y&=8,\\ 15x-12y&=18. \end{aligned}$$
Умножим первое уравнение на $$3$$:
$$15x-12y=24.$$
Но во втором уравнении получаем:
$$15x-12y=18.$$
Левая часть одинакова, а правая разная, значит система несовместна.
Ответ: решений нет.
6) Чтобы система имела бесконечно много решений, уравнения должны быть пропорциональны. Преобразуем второе уравнение:
$$9x-3y=18 \Rightarrow -3x+y=-6.$$
Тогда система имеет вид:
$$\begin{aligned} -3x+ay&=-6,\\ -3x+y&=-6. \end{aligned}$$
Для совпадения уравнений нужно, чтобы $$a=1$$.
Ответ: $$a=1.$$
