Контрольная работа 7 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1)

$$\begin{cases} x-3y=8,\\ 2x-y=6. \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=8+3y.$$
Подставим во второе:
$$2(8+3y)-y=6,$$
$$16+6y-y=6,$$
$$5y=-10,$$
$$y=-2.$$
Тогда
$$x=8+3\cdot(-2)=2.$$

Ответ: $$\,(2;\,-2).$$

2)

$$\begin{cases} 4x-5y=-83,\\ 2x+5y=29. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$6x=-54,$$
$$x=-9.$$
Подставим во второе уравнение:
$$2(-9)+5y=29,$$
$$-18+5y=29,$$
$$5y=47,$$
$$y=9{,}4.$$

Ответ: $$\,(-9;\,9{,}4).$$

3)

$$\begin{cases} x-y=5,\\ x+2y=-1. \end{cases}$$
Приведём уравнения к виду $$y=f(x)$$:
$$y=x-5,$$
$$2y=-x-1,$$
$$y=-0{,}5x-0{,}5.$$
Графики этих функций пересекаются в точке $$\,(3;\,-2).$$

Ответ: $$\,(3;\,-2).$$

4)

Пусть скорость первого пешехода равна $$x$$ км/ч, а второго — $$y$$ км/ч. Тогда
$$2(x+y)=20,$$
так как за 2 часа они вместе прошли 20 км. Кроме того,
$$4x-3y=12,$$
так как первый за 4 часа проходит на 12 км больше, чем второй за 3 часа.

Получаем систему:
$$\begin{cases} 2(x+y)=20,\\ 4x-3y=12. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x+y=10,\quad x=10-y.$$
Подставим во второе:
$$4(10-y)-3y=12,$$
$$40-7y=12,$$
$$7y=28,$$
$$y=4.$$
Тогда
$$x=10-4=6.$$

Ответ: первый пешеход — $$6$$ км/ч, второй — $$4$$ км/ч.

5)

1. $$\begin{cases} 7x+5y=19,\\ 4x-3y=5. \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$5$$:
   $$\begin{cases} 21x+15y=57,\\ 20x-15y=25. \end{cases}$$
   Сложим:
   $$41x=82,\quad x=2.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$4\cdot 2-3y=5,$$
   $$8-3y=5,$$
   $$3y=3,$$
   $$y=1.$$

   Ответ: $$\,(2;\,1).$$

2. $$\begin{cases} 3x-2y=6,\\ 12x-8y=20. \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$4$$:
   $$12x-8y=24.$$
   Но во втором уравнении левая часть такая же, а правая часть равна $$20$$. Получаем противоречие:
   $$0=4.$$
   Значит, система решений не имеет.

   Ответ: решений нет.

6)

$$\begin{cases} 4x+7y=6,\\ ax-14y=-12. \end{cases}$$
Чтобы система имела бесконечно много решений, одно уравнение должно быть пропорционально другому. Умножим первое уравнение на $$-2$$:
$$-8x-14y=-12.$$
Сравнивая с вторым уравнением, получаем
$$ax=-8x,$$
откуда
$$a=-8.$$

Ответ: $$a=-8.$$