Контрольная работа 5 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Разложите на множители:
1) $$m^3+27n^3$$;
2) $$x^3-64xy^2$$;
3) $$-3a^2+18a-27$$;
4) $$2ab+10b-2a-10$$;
5) $$a^4-16$$. - Упростите выражение $$\left(2a-1\right)\left(4a^2+2a+1\right)$$ и найдите его значение при $$a=-\frac{1}{2}$$.
- Разложите на множители:
1) $$x^2-y^2+x-y$$;
2) $$4x^2-4xy+y^2-9$$;
3) $$ac^4-c^4-ac^2+c^2$$;
4) $$4-m^2+2mn-n^2$$. - Решите уравнение:
1) $$6x^3-24x=0$$;
2) $$25x^3-10x^2+x=0$$;
3) $$x^3-4x^2-9x+36=0$$. - Докажите, что значение выражения $$2^{12}+5^3$$ делится нацело на $$21$$.
- Известно, что $$a+b=5$$, $$ab=-2$$. Найдите значение выражения $$(a-b)^2$$.
1) $$m^3+27n^3=(m+3n)(m^2-3mn+9n^2);$$
2) $$x^3-64xy^2=x(x^2-64y^2)=x(x-8y)(x+8y);$$
3) $$-3a^2+18a-27=-3(a^2-6a+9)=-3(a-3)^2;$$
4) $$2ab+10b-2a-10=2b(a+5)-2(a+5)=(a+5)(2b-2)=2(a+5)(b-1);$$
5) $$a^4-16=(a^2-4)(a^2+4)=(a-2)(a+2)(a^2+4).$$
2) $$\begin{aligned} (2a-1)(4a^2+2a+1)&=8a^3-1,\\ 8a^3-1\big|_{a=-\frac12}&=8\left(-\frac12\right)^3-1=-1-1=-2. \end{aligned}$$
3) $$\begin{aligned} 1)&\ x^2-y^2+x-y=(x-y)(x+y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1);\\ 2)&\ 4x^2-4xy+y^2-9=(2x-y)^2-3^2=(2x-y-3)(2x-y+3);\\ 3)&\ ac^4-c^4-ac^2+c^2=c^4(a-1)-c^2(a-1)\\ &=(a-1)(c^4-c^2)=c^2(a-1)(c^2-1)=c^2(a-1)(c-1)(c+1);\\ 4)&\ 4-m^2+2mn-n^2=4-(m^2-2mn+n^2)=4-(m-n)^2\\ &=(2-m+n)(2+m-n). \end{aligned}$$
4) $$\begin{aligned} 1)&\ 6x^3-24x=0,\\ &6x(x^2-4)=0,\\ &6x(x-2)(x+2)=0,\\ &x=0,\ x=2,\ x=-2;\\[4pt] 2)&\ 25x^3-10x^2+x=0,\\ &x(25x^2-10x+1)=0,\\ &x(5x-1)^2=0,\\ &x=0,\ x=\frac15;\\[4pt] 3)&\ x^3-4x^2-9x+36=0,\\ &x^2(x-4)-9(x-4)=0,\\ &(x-4)(x^2-9)=0,\\ &(x-4)(x-3)(x+3)=0,\\ &x=4,\ x=3,\ x=-3. \end{aligned}$$
5) $$\begin{aligned} 2^{12}+5^3&=(2^4)^3+5^3\\ &=(2^4+5)(2^8-2^4\cdot 5+5^2)\\ &=21\cdot(2^8-2^4\cdot 5+5^2). \end{aligned}$$
Следовательно, число $$2^{12}+5^3$$ делится нацело на $$21$$.
6) $$\begin{aligned} (a-b)^2&=(a+b)^2-4ab\\ &=5^2-4\cdot(-2)=25+8=33. \end{aligned}$$
