Контрольная работа 4 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Представьте в виде многочлена выражение:
1) $$(c — 6)^2$$; 2) $$(2a — 3b)^2$$; 3) $$(5 — a)(5 + a)$$; 4) $$(7x + 10y)(10y — 7x)$$. - Разложите на множители:
1) $$b^2 — 49$$; 2) $$c^2 — 8c + 16$$; 3) $$100 — 9x^2$$; 4) $$4a^2 + 20ab + 25b^2$$. - Упростите выражение $$(x — 2)(x + 2) — (x — 5)^2$$.
- Решите уравнение: $$4(3y + 1)^2 — 27 = (4y + 9)(4y — 9) + 2(5y + 2)(2y — 7)$$.
- Представьте в виде произведения выражение $$(4b — 9)^2 — (3b + 8)^2$$.
- Упростите выражение $$(3 — b)(3 + b)(9 + b^2) + (4 + b^2)^2$$ и найдите его значение при $$b = \frac{1}{2}$$.
- Докажите, что выражение $$x^2 — 14x + 51$$ принимает положительные значения при всех значениях $$x$$.
1. Представим выражения в виде многочлена:
- $$\left(c-6\right)^2=c^2-12c+36$$
- $$\left(2a-3b\right)^2=4a^2-12ab+9b^2$$
- $$\left(5-a\right)\left(5+a\right)=25-a^2$$
- $$\left(7x+10y\right)\left(10y-7x\right)=100y^2-49x^2$$
2. Разложим на множители:
- $$b^2-49=\left(b-7\right)\left(b+7\right)$$
- $$c^2-8c+16=\left(c-4\right)^2$$
- $$100-9x^2=\left(10-3x\right)\left(10+3x\right)$$
- $$4a^2+20ab+25b^2=\left(2a+5b\right)^2$$
3. Упростим выражение:
$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)-\left(x-5\right)^2 = x^2-4-\left(x^2-10x+25\right) = x^2-4-x^2+10x-25 = 10x-29$$
4. Решим уравнение:
$$4\left(3y+1\right)^2-27=\left(4y+9\right)\left(4y-9\right)+2\left(5y+2\right)\left(2y-7\right)$$
$$4\left(9y^2+6y+1\right)-27=\left(16y^2-81\right)+2\left(10y^2-31y-14\right)$$
$$36y^2+24y+4-27=16y^2-81+20y^2-62y-28$$
$$36y^2+24y-23=36y^2-62y-109$$
$$24y+62y=-109+23$$
$$86y=-86$$
$$y=-1$$
5. Представим выражение в виде произведения:
$$\left(4b-9\right)^2-\left(3b+8\right)^2 =\left(\left(4b-9\right)-\left(3b+8\right)\right)\left(\left(4b-9\right)+\left(3b+8\right)\right)$$
$$=\left(b-17\right)\left(7b-1\right)$$
6. Упростим выражение и найдём его значение при $$b=\frac12$$:
$$\left(3-b\right)\left(3+b\right)\left(9+b^2\right)+\left(4+b^2\right)^2$$
$$=\left(9-b^2\right)\left(9+b^2\right)+16+8b^2+b^4$$
$$=81-b^4+16+8b^2+b^4=8b^2+97$$
При $$b=\frac12$$:
$$8\left(\frac12\right)^2+97=8\cdot\frac14+97=2+97=99$$
7. Докажем, что выражение $$x^2-14x+51$$ положительно при всех значениях $$x$$:
$$x^2-14x+51=x^2-14x+49+2=\left(x-7\right)^2+2$$
Так как $$\left(x-7\right)^2\ge 0$$, то $$\left(x-7\right)^2+2>0$$ при любом $$x$$.
Ответ:
1) $$c^2-12c+36$$; $$4a^2-12ab+9b^2$$; $$25-a^2$$; $$100y^2-49x^2$$.
2) $$\left(b-7\right)\left(b+7\right)$$; $$\left(c-4\right)^2$$; $$\left(10-3x\right)\left(10+3x\right)$$; $$\left(2a+5b\right)^2$$.
3) $$10x-29$$.
4) $$y=-1$$.
5) $$\left(b-17\right)\left(7b-1\right)$$.
6) $$8b^2+97$$, при $$b=\frac12$$ значение равно $$99$$.
7) $$x^2-14x+51>0$$ при всех $$x$$.
