Упр.204 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$(x-2y)^2+(x+2)^2=0$$; 2) $$(x+3y-2)^2+x^2-10xy+25y^2=0$$; 3) $$|2x-y-3|+(x+3y-5)^2=0$$.

1) $$\left(x-2y\right)^2+\left(x+2\right)^2=0$$

Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$\begin{cases} x-2y=0,\\ x+2=0. \end{cases}$$

Из второго уравнения получаем $$x=-2$$, тогда из первого:

$$-2-2y=0,\quad y=-1.$$

Ответ: $$(-2;\,-1).$$

2) $$\left(x+3y-2\right)^2+x^2-10xy+25y^2=0$$

Заметим, что

$$x^2-10xy+25y^2=\left(x-5y\right)^2.$$

Тогда

$$\left(x+3y-2\right)^2+\left(x-5y\right)^2=0.$$

Следовательно,

$$\begin{cases} x+3y-2=0,\\ x-5y=0. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$x=5y$$. Подставим в первое:

$$5y+3y-2=0,\quad 8y=2,\quad y=\frac14.$$

Тогда

$$x=5\cdot \frac14=\frac54.$$

Ответ: $$\left(\frac54;\,\frac14\right).$$

3) $$|2x-y-3|+\left(x+3y-5\right)^2=0$$

Сумма неотрицательных выражений равна нулю только при одновременном равенстве каждого из них нулю:

$$\begin{cases} 2x-y-3=0,\\ x+3y-5=0. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$2x-y=3$$, из второго $$x+3y=5$$. Умножим второе уравнение на $$2$$:

$$\begin{cases} 2x-y=3,\\ 2x+6y=10. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$7y=7,\quad y=1.$$

Тогда

$$2x-1=3,\quad x=2.$$

Ответ: $$\left(2;\,1\right).$$