Упр.204 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$(x-y)^2+(y-3)^2=0$$; 2) $$(3x-y+1)^2+x^2-4xy+4y^2=0$$; 3) $$|2x-4y-10|+(3x+y-1)^2=0$$.

1) Так как сумма квадратов равна нулю, то каждый квадрат равен нулю:

$$\begin{cases} (x-y)^2=0,\\ (y-3)^2=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x-y=0,\\ y-3=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=y,\\ y=3 \end{cases}$$

Следовательно, $$x=3,\ y=3.$$

2) Преобразуем выражение:

$$x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2$$

Тогда

$$(3x-y+1)^2+(x-2y)^2=0$$

Сумма квадратов равна нулю, значит

$$\begin{cases} 3x-y+1=0,\\ x-2y=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=3x+1,\\ x=2y \end{cases}$$

Подставим $$x=2y$$ в первое уравнение:

$$3\cdot 2y-y+1=0$$

$$5y+1=0$$

$$y=-\frac{1}{5}=-0{,}2$$

Тогда

$$x=2y=-0{,}4$$

3) Так как $$|2x-4y-10|\ge 0$$ и $$(3x+y-1)^2\ge 0,$$ то их сумма равна нулю только при

$$\begin{cases} |2x-4y-10|=0,\\ (3x+y-1)^2=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x-4y-10=0,\\ 3x+y-1=0 \end{cases}$$

Упростим первое уравнение:

$$x-2y=5$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} x-2y=5,\\ 3x+y=1 \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$2$$:

$$\begin{cases} 2x-4y=10,\\ 3x+y=1 \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на $$2$$ и сложим с первым способом исключения удобнее так: из первого $$x=5+2y.$$ Подставим во второе:

$$3(5+2y)+y=1$$

$$15+7y=1$$

$$7y=-14$$

$$y=-2$$

Тогда

$$x=5+2(-2)=1$$

Ответ

1) $$(3;3)$$; 2) $$(-0{,}4;\,-0{,}2)$$; 3) $$(1;\,-2)$$.