Упр.139 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что выражение $$(a-b)(a-b+4)+4$$ принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.

(a-b)(a-b+4)+4 = a^2-ab+4a-ab+b^2-4b+4 = a^2-2ab+b^2+4(a-b)+4 = (a-b)^2+4(a-b)+4.

Обозначим $$t=a-b.$$ Тогда

$$t^2+4t+4=(t+2)^2.$$

Следовательно,

$$(a-b)(a-b+4)+4=(a-b+2)^2 \ge 0$$

при любых значениях переменных, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Ответ

$$(a-b)(a-b+4)+4=(a-b+2)^2 \ge 0.$$