Упр.137 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что выражение $$-x^2+8x-19$$ принимает отрицательные значения при всех значениях $$x$$. Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении $$x$$?

$$-x^2+8x-19=-(x^2-8x+19)=-(x^2-8x+16+3)=-\bigl((x-4)^2+3\bigr)=- (x-4)^2-3.$$

Так как $$(x-4)^2 \ge 0$$ при любых $$x$$, то $$-(x-4)^2 \le 0$$. Значит,

$$-x^2+8x-19=-(x-4)^2-3<0$$

при всех значениях $$x$$.

Наибольшее значение выражения достигается, когда $$(x-4)^2=0$$, то есть при $$x=4$$. Тогда

$$-x^2+8x-19=-3.$$

Ответ

Выражение принимает отрицательные значения при всех $$x$$. Наибольшее значение равно $$-3$$ и достигается при $$x=4$$.