Упр.137 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что выражение $$-x^2-10x-28$$ принимает отрицательные значения при всех значениях $$x$$. Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении $$x$$?

Преобразуем выражение:

$$-x^2-10x-28=-(x^2+10x+28)=-(x^2+10x+25+3)=-\bigl((x+5)^2+3\bigr)=- (x+5)^2-3.$$

Так как $$(x+5)^2 \ge 0$$ при любых значениях $$x$$, то

$$-(x+5)^2 \le 0,$$

следовательно,

$$-(x+5)^2-3<0.$$

Значит, выражение принимает отрицательные значения при всех значениях $$x$$.

Наибольшее значение оно принимает тогда, когда $$(x+5)^2=0$$, то есть при $$x=-5$$. В этом случае

$$-(-5+5)^2-3=-3.$$

Ответ: выражение всегда отрицательно; наибольшее значение равно $$-3$$ при $$x=-5$$.