Упр.108 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что значение выражения $$(n — 1)(n + 1) — (n — 1)(n + 3)$$ кратно $$4$$ при всех натуральных значениях $$n$$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$(n-1)(n+1)-(n-1)(n+3)=$$

$$=n^2-1-(n^2+2n-3)$$

$$=n^2-1-n^2-2n+3$$

$$=2-2n=2(1-n).$$

Полученное выражение делится на $$2$$, но не всегда делится на $$4$$. Значит, в условии, вероятно, опечатка.

Если же в задании имелось в виду выражение $$(n-1)(n+1)-(n-7)(n+3),$$ тогда:

$$(n-1)(n+1)-(n-7)(n+3)=n^2-1-(n^2-4n-21)=4n+20=4(n+5),$$

а значит, оно кратно $$4$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

Для записанного в тексте выражения $$(n-1)(n+1)-(n-1)(n+3)$$ кратность $$4$$ не выполняется. Если же во втором множителе должно быть $$n-7$$, то выражение равно $$4(n+5)$$ и кратно $$4$$.