Проверьте себя №7 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Проверим пары чисел в уравнении $$5x+3y=4$$:
   $$5\cdot 2+3\cdot(-2)=10-6=4.$$
   Значит, подходит пара $$(2;\,-2)$$.
2. Точка пересечения с осью абсцисс имеет $$y=0$$. Тогда:
   $$2x-5\cdot 0=10,$$
   $$2x=10,$$
   $$x=5.$$
   Получаем точку $$(5;\,0)$$.
3. Решим систему:
   $$\begin{cases} 5x-4y=11,\\ 2x+4y=10. \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$7x=21,\quad x=3.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$2\cdot 3+4y=10,\quad 4y=4,\quad y=1.$$
   Ответ: $$(3;\,1)$$.
4. Решим систему:
   $$\begin{cases} 15x+2y=7,\\ 2x-y=6. \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$2$$:
   $$4x-2y=12.$$
   Сложим с первым:
   $$19x=19,\quad x=1.$$
   Тогда
   $$2\cdot 1-y=6,\quad y=-4.$$
   Ответ: $$(1;\,-4)$$.
5. Решим систему:
   $$\begin{cases} x+y=1,\\ 3x-y=7. \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$4x=8,\quad x=2.$$
   Тогда
   $$y=1-x=-1.$$
   Значит, $$a=2,\ b=-1$$, и
   $$a^2-b^2=2^2-(-1)^2=4-1=3.$$
6. Система не имеет решений, если прямые параллельны. Преобразуем первое уравнение:
   $$3x+y=4 \quad \Rightarrow \quad y=-3x+4.$$
   Второе:
   $$x-ay=-6 \quad \Rightarrow \quad y=\frac{1}{a}x+\frac{6}{a}.$$
   Для параллельности коэффициенты при $$x$$ должны быть равны:
   $$\frac{1}{a}=-3,\quad a=-\frac{1}{3}.$$
7. Система имеет бесконечно много решений, если уравнения задают одну и ту же прямую:
   $$\begin{cases} 4x+by=10,\\ 2x-3y=5. \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$2$$:
   $$4x-6y=10.$$
   Значит,
   $$b=-6.$$
8. Ищем уравнение прямой через точки $$A(1;4)$$ и $$B(-2;13)$$. Пусть
   $$y=kx+b.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} 4=k+b,\\ 13=-2k+b. \end{cases}$$
   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$-3k=9,\quad k=-3.$$
   Тогда
   $$b=4-k=7.$$
   Получаем:
   $$y=-3x+7.$$
9. Пусть дочь за 1 ч делает $$x$$ вареников, а мать — $$y$$ вареников. Тогда:
   $$2x+3y=104,$$
   а также
   $$y-x=8.$$
10. При движении навстречу друг другу:
    $$0{,}5(x+y)=60.$$
    При движении в одном направлении:
    $$3(y-x)=60.$$
    Значит, система:
    $$\begin{cases} 0{,}5(x+y)=60,\\ 3(y-x)=60. \end{cases}$$
11. После изменения цен:
    $$1{,}1x+0{,}9y=13140.$$
    Вместе с условием $$x+y=12600$$ получаем систему:
    $$\begin{cases} x+y=12600,\\ 1{,}1x+0{,}9y=13140. \end{cases}$$
12. Преобразуем уравнение:
    $$x^2+y^2+12x-2y+37=0$$
    $$(x^2+12x+36)+(y^2-2y+1)=0$$
    $$(x+6)^2+(y-1)^2=0.$$
    Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
    $$x+6=0,\quad y-1=0.$$
    Значит,
    $$x=-6,\quad y=1.$$

Ответ

1 — В; 2 — Г; 3 — А; 4 — Б; 5 — В; 6 — Г; 7 — А; 8 — Б; 9 — В; 10 — А; 11 — Б; 12 — Б.