Упр.99 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Дано $$12$$ натуральных чисел. Докажите, что из них всегда можно выбрать два, разность которых делится нацело на $$11$$.
2. Предприниматель положил в банк $$300\,000$$ р. на два различных вклада, причём по одному вкладу ему насчитывали $$7\%$$ годовых, а по другому — $$8\%$$ годовых. Через год он получил $$22\,200$$ р. прибыли. Какая сумма была внесена на каждый из вкладов?

1) При делении на $$11$$ возможны только $$11$$ различных остатков: $$0,1,2,\dots,10$$.

У нас есть $$12$$ натуральных чисел. Значит, по принципу Дирихле среди них найдутся два числа с одинаковыми остатками при делении на $$11$$.

Разность таких чисел делится на $$11$$.

2) Пусть на первый вклад внесли $$x$$ руб., тогда на второй — $$300000-x$$ руб.

Составим уравнение по условию задачи:

$$0{,}07x+0{,}08(300000-x)=22200$$

$$0{,}07x+24000-0{,}08x=22200$$

$$-0{,}01x=-1800$$

$$x=180000$$

Тогда на второй вклад было внесено:

$$300000-180000=120000$$

Ответ

1) Из 12 натуральных чисел всегда можно выбрать два, разность которых делится на $$11$$.
2) $$180000$$ руб. и $$120000$$ руб.