Упр.970 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Найдите такое наименьшее натуральное значение $$a$$, при котором выражение $$x^2 — 4x + 2a$$ принимает положительные значения при любом значении $$x$$.
2. Найдите решение уравнения $$7x + 8y = 30$$, состоящее из двух равных чисел.

1) Рассмотрим выражение $$x^2-4x+2a$$ как квадрат двучлена:

$$x^2-4x+2a=(x-2)^2+2a-4.$$

Так как $$(x-2)^2 \ge 0$$ при любом $$x$$, то для положительности выражения при всех значениях $$x$$ нужно, чтобы

$$2a-4>0.$$

Отсюда

$$2a>4,$$

$$a>2.$$

Наименьшее натуральное значение $$a$$ равно $$3$$.

Проверка:

$$x^2-4x+2\cdot 3=x^2-4x+6=(x-2)^2+2>0.$$

2) Пусть решение уравнения $$7x+8y=30$$ состоит из двух равных чисел, то есть $$x=y$$. Тогда

$$7x+8x=30,$$

$$15x=30,$$

$$x=2.$$

Следовательно, $$y=2$$.

Ответ

$$a=3; \quad x=2,\ y=2.$$