Упр.905 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Запишите с помощью фигурных скобок множество: 1) натуральных делителей числа $$10$$; 2) букв слова «алгебра»; 3) правильных дробей со знаменателем $$6$$.
2. Докажите, что при любом значении $$x$$ значение выражения $$|x|-x$$ больше соответствующего значения выражения $$2x-x^2-2$$.

1) Натуральные делители числа $$10$$: $$1,\ 2,\ 5,\ 10$$. Поэтому

$$A=\{1;2;5;10\}.$$

2) Буквы слова «алгебра»: $$а,\ л,\ г,\ е,\ б,\ р,\ а$$. Различные буквы этого слова:

$$B=\{а;б;г;е;л;р\}.$$

3) Правильные дроби со знаменателем $$6$$:

$$C=\left\{\frac16;\frac26;\frac36;\frac46;\frac56\right\}.$$

Докажем неравенство:

$$|x|-x>2x-x^2-2.$$

Преобразуем правую часть:

$$2x-x^2-2=-(x^2-2x+1+1)=-(x-1)^2-1.$$

Так как $$(x-1)^2\ge 0$$, то

$$-(x-1)^2-1<0.$$

С другой стороны,

$$|x|-x\ge 0,$$

так как $$|x|\ge x$$ при любом $$x$$.

Значит, левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, поэтому

$$|x|-x>2x-x^2-2$$

при любом значении $$x$$.

Ответ

$$A=\{1;2;5;10\},\quad B=\{а;б;г;е;л;р\},\quad C=\left\{\frac16;\frac26;\frac36;\frac46;\frac56\right\}.$$

$$|x|-x>2x-x^2-2$$ при любом $$x$$.