Упр.893 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Пусть $$x_1, x_2, \ldots, x_{25}$$ — некоторый набор натуральных чисел, а набор $$y_1, y_2, \ldots, y_{25}$$ получен из него в результате перестановки некоторых чисел. Докажите, что значение выражения $$(x_1-y_1)(x_2-y_2)\ldots(x_{25}-y_{25})$$ является чётным числом.
- Постройте график функции:
1) $$y=\begin{cases}x-4, & \text{если } x\geqslant 0,\\-2x-4, & \text{если } x<0;\end{cases}$$
2) $$y=\begin{cases}3x-2, & \text{если } x\leqslant 1,\\1, & \text{если } x>1;\end{cases}$$
3) $$y=\begin{cases}2, & \text{если } x\ne 2,\\3, & \text{если } x=2;\end{cases}$$
4) $$y=\begin{cases}2x, & \text{если } x<-1,\\1, & \text{если } x=-1,\\x+3, & \text{если } x>-1.\end{cases}$$
Рассмотрим произведение $$\left(x_1-y_1\right)\left(x_2-y_2\right)\cdots\left(x_{25}-y_{25}\right).$$
Если все числа $$x_1,x_2,\ldots,x_{25}$$ нечётные, то и все числа $$y_1,y_2,\ldots,y_{25}$$ нечётные, так как набор $$y_1,\ldots,y_{25}$$ получен перестановкой чисел из первого набора. Тогда каждое разность $$x_i-y_i$$ — чётное число, значит, и всё произведение чётно.
Если все числа $$x_1,x_2,\ldots,x_{25}$$ чётные, то и все числа $$y_1,y_2,\ldots,y_{25}$$ чётные. Тогда каждое разность $$x_i-y_i$$ также чётное, следовательно, произведение чётно.
Если в наборе есть хотя бы одно чётное число, а остальные нечётные, то в соответствующей паре $$x_i-y_i$$ одно из чисел чётное, другое нечётное или оба чётные. В любом случае разность $$x_i-y_i$$ будет чётной. Значит, среди множителей есть чётное число, поэтому всё произведение чётно.
Построим графики функций.
1) $$y=\begin{cases}x-4, & x\ge 0,\\ -2x-4, & x<0.\end{cases}$$
При $$x\ge 0$$ строим луч прямой $$y=x-4$$, начиная с точки $$\left(0,-4\right)$$. При $$x<0$$ строим луч прямой $$y=-2x-4$$, также с точкой $$\left(0,-4\right)$$. Получается ломаная с вершиной в точке $$\left(0,-4\right)$$.
2) $$y=\begin{cases}3x-2, & x\le 1,\\ 1, & x>1.\end{cases}$$
При $$x\le 1$$ строим часть прямой $$y=3x-2$$. В точке $$x=1$$ получаем $$y=1$$, значит, точка $$\left(1,1\right)$$ принадлежит графику. При $$x>1$$ график — горизонтальный луч $$y=1$$ вправо от точки $$\left(1,1\right)$$.
3) $$y=\begin{cases}2, & x\ne 2,\\ 3, & x=2.\end{cases}$$
График состоит из горизонтальной прямой $$y=2$$ при всех $$x\ne 2$$ и отдельной точки $$\left(2,3\right)$$.
4) $$y=\begin{cases}2x, & x<-1,\\ 1, & x=-1,\\ x+3, & x>-1.\end{cases}$$
При $$x<-1$$ строим луч прямой $$y=2x$$. При $$x=-1$$ отмечаем точку $$\left(-1,1\right)$$. При $$x>-1$$ строим луч прямой $$y=x+3$$, начиная справа от точки $$\left(-1,2\right)$$, но сама точка $$\left(-1,2\right)$$ не входит в график.
Ответ
Произведение $$\left(x_1-y_1\right)\left(x_2-y_2\right)\cdots\left(x_{25}-y_{25}\right)$$ чётно. Графики функций построены по частям, как указано выше.
