Упр.880 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$, отличном от 1, значение выражения $$n^4+n^2+1$$ является составным числом.
2. При каком значении $$k$$ график функции $$y=kx-15$$ проходит через точку В $$(3;-6)$$?

1) Преобразуем выражение:

$$n^4+n^2+1=n^4+2n^2+1-n^2=(n^2+1)^2-n^2.$$

Разность квадратов:

$$(n^2+1)^2-n^2=(n^2+1-n)(n^2+1+n).$$

Получили произведение двух натуральных множителей, причём при $$n>1$$ оба множителя больше 1. Значит, число $$n^4+n^2+1$$ составное.

2) Подставим координаты точки $$B(3;-6)$$ в уравнение прямой:

$$y=kx-15$$

$$-6=3k-15$$

$$3k=9$$

$$k=3.$$

Ответ

$$n^4+n^2+1=(n^2+1-n)(n^2+1+n),$$ поэтому при любом натуральном $$n>1$$ это число составное; $$k=3.$$