Упр.877 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(2n-1)^3-4n^2+2n+1$$ делится нацело на $$16$$.
2. При каком значении независимой переменной функции $$f(x)=5-2x$$ и $$g(x)=2x-3$$ принимают равные значения? Построив на одной координатной плоскости графики данных функций, установите, при каких значениях $$x$$: 1) $$f(x)g(x)$$.

1) Упростим выражение:

$$(2n-1)^3-4n^2+2n+1$$
$$=(2n-1)(2n-1)^2-4n^2+2n+1$$
$$=(2n-1)(4n^2-4n+1)-4n^2+2n+1$$
$$=8n^3-12n^2+6n-1-4n^2+2n+1$$
$$=8n^3-16n^2+8n$$
$$=8n(n^2-2n+1)=8n(n-1)^2.$$

Так как среди двух соседних чисел $$n$$ и $$n-1$$ одно чётное, то произведение $$n(n-1)^2$$ делится на $$2$$. Значит, выражение $$8n(n-1)^2$$ делится на $$16$$.

2) Найдём, при каком значении $$x$$ функции принимают равные значения:

$$5-2x=2x-3$$
$$-4x=-8$$
$$x=2.$$

Точка пересечения графиков имеет координаты $$\left(2,1\right)$$, так как

$$f(2)=5-2\cdot 2=1,\qquad g(2)=2\cdot 2-3=1.$$

Сравним функции по графикам или по неравенству:

$$5-2x<2x-3$$
$$-4x<-8$$
$$x>2.$$

$$5-2x>2x-3$$
$$-4x>-8$$
$$x<2.$$

Ответ

Выражение делится нацело на $$16$$. Функции равны при $$x=2$$.
1) $$f(x)<g(x)$$ при $$x>2$$;
2) $$f(x)>g(x)$$ при $$x<2$$.