Упр.875 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Значения переменных $$x_1$$ и $$x_2$$ таковы, что выполняются равенства $$x_1-x_2=x_1x_2=5$$. Найдите значение выражения:
   1) $$x_1x_2^2-x_1^2x_2$$;
   2) $$x_1^2+x_2^2$$;
   3) $$(x_1+x_2)^2$$;
   4) $$x_1^3-x_2^3$$.
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $$y=4x-7$$ и $$y=-2x+11$$.

Дано: $$x_1-x_2=8,$$ $$x_1x_2=5.$$

1. $$x_1x_2^2-x_1^2x_2=x_1x_2(x_2-x_1)=-x_1x_2(x_1-x_2)=-5\cdot 8=-40.$$

2. $$x_1^2+x_2^2=(x_1-x_2)^2+2x_1x_2=8^2+2\cdot 5=64+10=74.$$

3. $$\left(x_1+x_2\right)^2=\left(x_1-x_2\right)^2+4x_1x_2=8^2+4\cdot 5=64+20=84.$$

4. $$x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2).$$

   Найдём сумму в скобках:

   $$x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1-x_2)^2+3x_1x_2=8^2+3\cdot 5=64+15=79.$$

   Тогда

   $$x_1^3-x_2^3=8\cdot 79=632.$$

Для точек пересечения графиков функций $$y=4x-7$$ и $$y=-2x+11$$ приравняем правые части:

$$4x-7=-2x+11$$

$$6x=18$$

$$x=3.$$

Подставим в любое уравнение:

$$y=4\cdot 3-7=5.$$

Точка пересечения: $$\left(3;5\right).$$

Ответ

1) $$-40$$; 2) $$74$$; 3) $$84$$; 4) $$632$$; $$\left(3;5\right).$$