Упр.870 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   
   1) $$\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(a+c);$$
   
   2) $$(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=-3(a-b)(b-c)(a-c).$$
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:
   
   1) $$y=2{,}5x+10;$$
   
   2) $$y=6x-4.$$

1. Преобразуем левую часть:

   $$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3 =\bigl((a+b+c)^3-a^3\bigr)-\bigl(b^3+c^3\bigr).$$

   Удобнее раскрыть куб суммы и привести подобные:

   $$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc.$$

   Тогда

   $$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3 =3a^2b+3a^2c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc.$$

   Вынесем $$3$$ и сгруппируем:

   $$=3\bigl(a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2abc\bigr)$$

   $$=3(a+b)(b+c)(a+c).$$

2. Преобразуем левую часть:

   $$(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3.$$

   Используем формулу разности кубов:

   $$(a-b)^3+(b-c)^3=(a-c)\bigl((a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2\bigr).$$

   Тогда

   $$(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3$$
   $$=(a-c)\bigl((a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2-(a-c)^2\bigr).$$

   Раскроем скобки внутри:

   $$(a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2-(a-c)^2 =-3(a-b)(b-c).$$

   Следовательно,

   $$(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=-3(a-b)(b-c)(a-c).$$

3. Найдём точки пересечения графика $$y=2{,}5x+10$$ с осями координат.

   С осью $$Ox$$: при $$y=0$$

   $$0=2{,}5x+10,\quad 2{,}5x=-10,\quad x=-4.$$

   Точка пересечения: $$(-4;0)$$.

   С осью $$Oy$$: при $$x=0$$

   $$y=2{,}5\cdot 0+10=10.$$

   Точка пересечения: $$(0;10)$$.

4. Найдём точки пересечения графика $$y=6x-4$$ с осями координат.

   С осью $$Ox$$: при $$y=0$$

   $$0=6x-4,\quad 6x=4,\quad x=\frac{2}{3}.$$

   Точка пересечения: $$\left(\frac{2}{3};0\right)$$.

   С осью $$Oy$$: при $$x=0$$

   $$y=6\cdot 0-4=-4.$$

   Точка пересечения: $$(0;-4)$$.

Ответ

1) $$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(a+c).$$

2) $$(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=-3(a-b)(b-c)(a-c).$$

3) Для $$y=2{,}5x+10$$: $$(-4;0)$$ и $$(0;10)$$.

4) Для $$y=6x-4$$: $$\left(\frac{2}{3};0\right)$$ и $$(0;-4)$$.