Упр.868 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Разложите выражение на множители двумя способами: а) примените формулу разности квадратов; б) раскройте скобки и примените метод группировки: 1) $$(ab+1)^2-(a+b)^2$$; 2) $$(a+2b)^2-(ab+2)^2$$.
2. Постройте в одной системе координат графики функций $$y=x-1$$ и $$y=\frac{1}{4}*x+2$$ и найдите координаты точки их пересечения.

1. 1) $$(ab+1)^2-(a+b)^2$$

   а) По формуле разности квадратов:

   $$(ab+1)^2-(a+b)^2=((ab+1)-(a+b))((ab+1)+(a+b))$$

   $$=(ab-a-b+1)(ab+a+b+1)$$

   $$=(a(b-1)-(b-1))(a(b+1)+(b+1))$$

   $$=(b-1)(a-1)(b+1)(a+1)$$

   б) Раскроем скобки и сгруппируем:

   $$(ab+1)^2-(a+b)^2=a^2b^2+2ab+1-a^2-2ab-b^2$$

   $$=a^2b^2-a^2-b^2+1$$

   $$=a^2(b^2-1)-(b^2-1)$$

   $$=(b^2-1)(a^2-1)$$

   $$=(b-1)(b+1)(a-1)(a+1)$$

2. 2) $$(a+2b)^2-(ab+2)^2$$

   а) По формуле разности квадратов:

   $$(a+2b)^2-(ab+2)^2=((a+2b)-(ab+2))((a+2b)+(ab+2))$$

   $$=(a-ab+2b-2)(a+ab+2b+2)$$

   $$=(a(1-b)-2(1-b))(a(1+b)+2(1+b))$$

   $$=(1-b)(a-2)(1+b)(a+2)$$

   б) Раскроем скобки и сгруппируем:

   $$(a+2b)^2-(ab+2)^2=a^2+4ab+4b^2-a^2b^2-4ab-4$$

   $$=a^2+4b^2-a^2b^2-4$$

   $$=(a^2-a^2b^2)+(4b^2-4)$$

   $$=a^2(1-b^2)-4(1-b^2)$$

   $$=(1-b^2)(a^2-4)$$

   $$=(1-b)(1+b)(a-2)(a+2)$$

3. Графики функций $$y=x-1$$ и $$y=\frac14x+2$$ пересекаются в точке, координаты которой найдём из уравнения:

   $$x-1=\frac14x+2$$

   $$x-\frac14x=3$$

   $$\frac34x=3$$

   $$x=4$$

   Тогда

   $$y=4-1=3$$

Ответ

1) $$(ab+1)^2-(a+b)^2=(b-1)(b+1)(a-1)(a+1)$$;

2) $$(a+2b)^2-(ab+2)^2=(1-b)(1+b)(a-2)(a+2)$$;

точка пересечения графиков: $$(4;3)$$.