Упр.858 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Разложите на множители:

$$\left(a^2+b^2\right)^2-4a^2b^2$$;
$$81-\left(x^2+6x\right)^2$$;
$$a^2+2ab+b^2-c^2$$;
$$c^2+4c+4-k^2$$;
$$9a^2+c^2+6ac-9$$;
$$d^2-b^2-10b-25$$;
$$49-y^2+x^2-14x$$;
$$mn^2-m^3-12m^2-36m$$.

Постройте график прямой пропорциональности:

$$y=3x$$;
$$y=-2x$$;
$$y=-0{,}6x$$;
$$y=\frac{1}{7}x$$.

Подробный ответ

$$\begin{aligned} (a^2+b^2)^2-4a^2b^2&=a^4+2a^2b^2+b^4-4a^2b^2\\ &=a^4-2a^2b^2+b^4\\ &=(a^2-b^2)^2\\ &=(a-b)^2(a+b)^2. \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} 81-(x^2+6x)^2&=9^2-(x^2+6x)^2\\ &=(9-(x^2+6x))(9+(x^2+6x))\\ &=(9-x^2-6x)(9+x^2+6x)\\ &=-(x^2+6x-9)(x+3)^2. \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} a^2+2ab+b^2-c^2&=(a+b)^2-c^2\\ &=(a+b-c)(a+b+c). \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} c^2+4c+4-k^2&=(c+2)^2-k^2\\ &=(c+2-k)(c+2+k). \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} 9a^2+c^2+6ac-9&=(3a+c)^2-3^2\\ &=(3a+c-3)(3a+c+3). \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} d^2-b^2-10b-25&=d^2-(b^2+10b+25)\\ &=d^2-(b+5)^2\\ &=(d-b-5)(d+b+5). \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} 49-y^2+x^2-14x&=(x^2-14x+49)-y^2\\ &=(x-7)^2-y^2\\ &=(x-7-y)(x-7+y). \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} mn^2-m^3-12m^2-36m&=m(n^2-m^2-12m-36)\\ &=m\bigl(n^2-(m+6)^2\bigr)\\ &=m(n-m-6)(n+m+6). \end{aligned}$$

График прямой пропорциональности $$y=kx$$ — это прямая, проходящая через начало координат.

$$y=3x$$ — точки для построения: $$\left(0;0\right)$$, $$\left(1;3\right)$$.
$$y=-2x$$ — точки для построения: $$\left(0;0\right)$$, $$\left(1;-2\right)$$.
$$y=-0{,}6x$$ — точки для построения: $$\left(0;0\right)$$, $$\left(5;-3\right)$$.
$$y=\frac{1}{7}x$$ — точки для построения: $$\left(0;0\right)$$, $$\left(7;1\right)$$.

Ответ

1) $$\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)^2$$;
2) $$-(x^2+6x-9)(x+3)^2$$;
3) $$\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)$$;
4) $$\left(c+2-k\right)\left(c+2+k\right)$$;
5) $$\left(3a+c-3\right)\left(3a+c+3\right)$$;
6) $$\left(d-b-5\right)\left(d+b+5\right)$$;
7) $$\left(x-7-y\right)\left(x-7+y\right)$$;
8) $$m(n-m-6)(n+m+6)$$.

Графики: прямые через точки $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(1;3\right)$$, $$\left(1;-2\right)$$, $$\left(5;-3\right)$$, $$\left(7;1\right)$$ соответственно.