Упр.843 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Разложите на множители многочлен:
   1) $$2a^2-2b^2$$;
   2) $$cx^2-cy^2$$;
   3) $$3x^2-3$$;
   4) $$3ab^2-27a$$;
   5) $$x^3-4x$$;
   6) $$2y^3-18y$$;
   7) $$x^4-x^2$$;
   8) $$0{,}09t^4-t^6$$;
   9) $$\frac{16}{49}a^2b^4c^5-b^2c^3$$.
2. Докажите, что при любом нечётном значении $$n$$ значение выражения $$(4n+1)^2-(n+4)^2$$ кратно $$120$$.

1. $$2a^2-2b^2=2(a^2-b^2)=2(a-b)(a+b)$$
2. $$cx^2-cy^2=c(x^2-y^2)=c(x-y)(x+y)$$
3. $$3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$
4. $$3ab^2-27a=3a(b^2-9)=3a(b-3)(b+3)$$
5. $$x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$$
6. $$2y^3-18y=2y(y^2-9)=2y(y-3)(y+3)$$
7. $$x^4-x^2=x^2(x^2-1)=x^2(x-1)(x+1)$$
8. $$0{,}09t^4-t^6=t^4(0{,}09-t^2)=t^4(0{,}3-t)(0{,}3+t)$$
9. $$\frac{16}{49}a^2b^4c^5-b^2c^3=b^2c^3\left(\frac{16}{49}a^2b^2c^2-1\right)$$
   $$=b^2c^3\left(\frac{4}{7}abc-1\right)\left(\frac{4}{7}abc+1\right)$$

Докажем, что при любом нечётном значении $$n$$ выражение $$\left(4n+1\right)^2-\left(n+4\right)^2$$ кратно $$120$$.

$$\left(4n+1\right)^2-\left(n+4\right)^2=\left((4n+1)-(n+4)\right)\left((4n+1)+(n+4)\right)$$
$$=(3n-3)(5n+5)=15(n-1)(n+1)$$

Так как $$n$$ — нечётное число, то числа $$n-1$$ и $$n+1$$ — чётные. Значит, одно из них делится на $$4$$, а другое — на $$2$$. Следовательно, произведение $$\left(n-1\right)\left(n+1\right)$$ делится на $$8$$.

Тогда всё выражение $$15(n-1)(n+1)$$ делится на $$15\cdot 8=120$$.

Ответ

1) $$2(a-b)(a+b)$$;
2) $$c(x-y)(x+y)$$;
3) $$3(x-1)(x+1)$$;
4) $$3a(b-3)(b+3)$$;
5) $$x(x-2)(x+2)$$;
6) $$2y(y-3)(y+3)$$;
7) $$x^2(x-1)(x+1)$$;
8) $$t^4(0{,}3-t)(0{,}3+t)$$;
9) $$b^2c^3\left(\frac{4}{7}abc-1\right)\left(\frac{4}{7}abc+1\right)$$;
$$\left(4n+1\right)^2-\left(n+4\right)^2$$ кратно $$120$$.