Упр.832 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Известно, что числа $$x$$ и $$y$$ таковы, что $$x^3-y^2=2$$. Найдите значение выражения $$x^9-6x^3y^2-y^6$$.
- Функция задана формулой $$y=x^2-1$$, где $$-2\leq x\leq 3$$.
1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.
2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.
3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких — больше нуля.
4) Пользуясь графиком функции, укажите область значений функции.
1) Если $$x^3-y^2=2,$$ то
$$\begin{aligned} x^9-6x^3y^2-y^6 &=(x^9-y^6)-6x^3y^2 \\ &=(x^3-y^2)(x^6+x^3y^2+y^4)-6x^3y^2 \\ &=2(x^6+x^3y^2+y^4)-6x^3y^2 \\ &=2x^6-4x^3y^2+2y^4 \\ &=2(x^6-2x^3y^2+y^4) \\ &=2(x^3-y^2)^2 \\ &=2\cdot 2^2=8. \end{aligned}$$
2) Для функции $$y=x^2-1,$$ $$-2\le x\le 3,$$ составим таблицу значений с шагом 1:
| $$x$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $$y=x^2-1$$ | $$3$$ | $$0$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$3$$ | $$8$$ |
По этим точкам строим график параболы $$y=x^2-1$$ на отрезке $$[-2;3].$$
3) Из графика видно, что функция принимает отрицательные значения между нулями:
$$-1<x<1.$$
Положительные значения функция принимает при
$$-2\le x<-1 \quad \text{и} \quad 1<x\le 3.$$
4) Наименьшее значение функции равно $$-1,$$ наибольшее — $$8.$$ Значит, область значений:
$$[-1;8].$$
Ответ
1) $$8$$.
2) Таблица значений приведена выше; график — часть параболы $$y=x^2-1$$ на отрезке $$[-2;3].$$
3) $$y<0$$ при $$-1<x<1,$$ $$y>0$$ при $$-2\le x<-1$$ и $$1<x\le 3.$$
4) $$[-1;8].$$
