Упр.831 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Известно, что числа $$x$$ и $$y$$ таковы, что $$x^2+y^2=1$$. Найдите значение выражения $$x^6+3x^2y^2+y^6$$.
2. Графиком некоторой функции является ломаная МКЕ, где $$M(-4;1)$$, $$K(2;4)$$, $$E(5;-2)$$.
   
   1) Постройте график данной функции.
   
   2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: $$-2$$; $$0$$; $$3$$.
   
   3) Найдите значение $$x$$, при котором $$y=-2$$; $$0$$; $$2$$.

Так как $$x^2+y^2=1,$$ то

$$x^6+3x^2y^2+y^6=(x^6+y^6)+3x^2y^2.$$

Используем формулу

$$x^6+y^6=(x^2)^3+(y^2)^3=(x^2+y^2)\bigl(x^4-x^2y^2+y^4\bigr).$$

Тогда

$$x^6+3x^2y^2+y^6=(x^2+y^2)\bigl(x^4-x^2y^2+y^4\bigr)+3x^2y^2.$$

Подставим $$x^2+y^2=1$$:

$$x^4-x^2y^2+y^4+3x^2y^2=x^4+2x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2=1.$$

Для ломаной $$MKE$$ с точками $$M(-4;1),\ K(2;4),\ E(5;-2)$$ график состоит из двух отрезков: $$MK$$ и $$KE$$.

На отрезке $$MK$$ при $$x=-2$$ получаем $$y=2,$$ при $$x=0$$ — $$y=3,$$ при $$x=2$$ — $$y=4.$$

На отрезке $$KE$$ при $$x=3$$ получаем $$y=2,$$ при $$x=4$$ — $$y=0,$$ при $$x=5$$ — $$y=-2.$$

Следовательно:

• при $$x=-2$$, $$y=2$$;
• при $$x=0$$, $$y=3$$;
• при $$x=3$$, $$y=2$$;
• при $$y=-2$$, $$x=5$$;
• при $$y=0$$, $$x=4$$;
• при $$y=2$$, $$x=-2$$ или $$x=3$$.

Ответ

$$x^6+3x^2y^2+y^6=1.$$

Для графика: $$M(-4;1),\ K(2;4),\ E(5;-2).$$

$$y(-2)=2,\ y(0)=3,\ y(3)=2.$$

$$x(-2)=5,\ x(0)=4,\ x(2)=-2 \text{ или } 3.$$