Упр.830 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.
2. Может ли ломаная $$ABC$$ быть графиком некоторой функции, если:
   1) $$A(-4;-1)$$, $$B(1;2)$$, $$C(2;4)$$;
   2) $$A(-4;-1)$$, $$B(1;2)$$, $$C(1;3)$$?

Пусть два последовательных натуральных числа, не делящиеся на 3, имеют вид $$3n-1$$ и $$3n+1$$.

Тогда их сумма кубов равна

$$(3n-1)^3+(3n+1)^3.$$

Раскроем скобки:

$$(3n-1)^3+(3n+1)^3 = (27n^3-27n^2+9n-1)+(27n^3+27n^2+9n+1)$$
$$=54n^3+18n =18n(3n^2+1).$$

Так как $$18n(3n^2+1)$$ делится на $$9$$, то сумма кубов двух таких чисел делится нацело на $$9$$.

Теперь рассмотрим ломаную.

1. $$A(-4;-1),\ B(1;2),\ C(2;4).$$

   Участки ломаной не имеют общих значений абсцисс для одной и той же точки, поэтому любая вертикальная прямая пересекает её не более чем в одной точке. Значит, такая ломаная может быть графиком функции.

2. $$A(-4;-1),\ B(1;2),\ C(1;3).$$

   Точки $$B$$ и $$C$$ имеют одинаковую абсциссу $$x=1$$, но разные ординаты. Поэтому вертикальная прямая $$x=1$$ пересекает ломаную в двух точках. Следовательно, такая ломаная не является графиком функции.

Ответ

Сумма кубов делится на $$9$$. Ломаная в пункте 1) может быть графиком функции, в пункте 2) — не может.