Упр.829 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на $$4$$.
2. Графиком некоторой функции является ломаная $$ABCD$$ с вершинами в точках $$A(-3; 6)$$, $$B(-1; 2)$$, $$C(3; -2)$$, $$D(9; 0)$$.
   1) Постройте график данной функции.
   2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: $$-2$$; $$0$$; $$2$$; $$6$$.
   3) Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно: $$1$$; $$-1$$; $$0$$.

Пусть два последовательных нечётных натуральных числа — это $$2n+1$$ и $$2n+3$$.

Тогда их сумма кубов равна

$$(2n+1)^3+(2n+3)^3.$$

Вынесем сумму множителей по формуле суммы кубов:

$$(2n+1)^3+(2n+3)^3=((2n+1)+(2n+3))\bigl((2n+1)^2-(2n+1)(2n+3)+(2n+3)^2\bigr).$$

Упростим:

$$(2n+1)+(2n+3)=4n+4=4(n+1),$$

$$(2n+1)^2-(2n+1)(2n+3)+(2n+3)^2$$
$$= (4n^2+4n+1)-(4n^2+8n+3)+(4n^2+12n+9)$$
$$=4n^2+8n+7.$$

Значит,

$$(2n+1)^3+(2n+3)^3=4(n+1)(4n^2+8n+7).$$

Следовательно, сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.

Ответ

$$(2n+1)^3+(2n+3)^3=4(n+1)(4n^2+8n+7),$$
поэтому выражение делится на 4.