Упр.820 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   1) $$(a-5)(a^2+5a+25)-(a-1)(a^2+a+1);$$
   2) $$(y-3)(y^2+3y+9)-y(y-3)(y+3)-(y+3)^2;$$
   3) $$(a-b)(a+b)(a^4+a^2b^2+b^4).$$
2. Докажите, что в любом $$60$$-значном числе, десятичная запись которого не содержит нулей, можно зачеркнуть несколько цифр так, что полученное в результате этого число будет делиться нацело на $$1001$$.

1. $$(a-5)(a^2+5a+25)-(a-1)(a^2+a+1)$$

   Используем формулу разности кубов:
   $$(a-5)(a^2+5a+25)=a^3-125,$$
   $$(a-1)(a^2+a+1)=a^3-1.$$

   Тогда
   $$a^3-125-(a^3-1)=a^3-125-a^3+1=-124.$$

2. $$(y-3)(y^2+3y+9)-y(y-3)(y+3)-(y+3)^2$$

   Преобразуем по формулам сокращённого умножения:
   $$(y-3)(y^2+3y+9)=y^3-27,$$
   $$y(y-3)(y+3)=y(y^2-9)=y^3-9y,$$
   $$(y+3)^2=y^2+6y+9.$$

   Тогда
   $$y^3-27-(y^3-9y)-(y^2+6y+9)$$
   $$=y^3-27-y^3+9y-y^2-6y-9$$
   $$=-y^2+3y-36.$$

3. $$(a-b)(a+b)(a^4+a^2b^2+b^4)$$

   Сначала перемножим первые два множителя:
   $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$$

   Тогда
   $$(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)=a^6-b^6,$$
   так как это формула разности кубов:
   $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2),$$
   где $$x=a^2$$, $$y=b^2$$.

4. В 60-значном числе, не содержащем нулей, возможны только цифры $$1,2,\dots,9$$. Таких цифр 9, а позиций 60. По принципу Дирихле найдутся как минимум $$\left\lceil \frac{60}{9} \right\rceil = 7$$ одинаковых цифр.

   Среди этих одинаковых цифр можно выбрать подряд идущие шесть. Если число, составленное из шести одинаковых цифр $$a$$, то оно равно
   $$aaaaaa=a\cdot 111111.$$

   Число $$111111$$ делится нацело на $$1001$$, так как
   $$111111=1001\cdot 111.$$
   Значит, и число $$aaaaaa$$ делится нацело на $$1001$$.

   Следовательно, можно зачеркнуть несколько цифр так, чтобы оставшееся число делилось нацело на $$1001$$.

Ответ

1) $$-124$$;
2) $$-y^2+3y-36$$;
3) $$a^6-b^6$$;
4) можно.