Упр.817 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Разложите на множители:
   1) $$(a+6)^3-27$$;
   2) $$(2x-1)^3+64$$;
   3) $$8a^6-(4a-3)^3$$;
   4) $$1000+(y-10)^3$$;
   5) $$(x+y)^3-(x-y)^3$$;
   6) $$(a-2)^3+(a+2)^3$$.
2. Известно, что $$x+y=\frac{a^2}{4}$$, $$y+z=-a$$, $$x+z=1$$. Докажите, что выражение $$x+y+z$$ принимает только неотрицательные значения.

1. $$(a+6)^3-27=(a+6)^3-3^3$$

   Используем формулу разности кубов:

   $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$

   Тогда

   $$(a+6)^3-3^3=((a+6)-3)\bigl((a+6)^2+3(a+6)+9\bigr)$$

   $$=(a+3)(a^2+12a+36+3a+18+9)=(a+3)(a^2+15a+63)$$

2. $$(2x-1)^3+64=(2x-1)^3+4^3$$

   Используем формулу суммы кубов:

   $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$

   Получаем

   $$(2x-1)^3+4^3=((2x-1)+4)\bigl((2x-1)^2-4(2x-1)+16\bigr)$$

   $$=(2x+3)(4x^2-4x+1-8x+4+16)=(2x+3)(4x^2-12x+21)$$

3. $$8a^6-(4a-3)^3=(2a^2)^3-(4a-3)^3$$

   Применяем формулу разности кубов:

   $$(2a^2-(4a-3))\bigl((2a^2)^2+2a^2(4a-3)+(4a-3)^2\bigr)$$

   $$=(2a^2-4a+3)\bigl(4a^4+8a^3-6a^2+16a^2-24a+9\bigr)$$

   $$=(2a^2-4a+3)(4a^4+8a^3+10a^2-24a+9)$$

4. $$1000+(y-10)^3=10^3+(y-10)^3$$

   Используем формулу суммы кубов:

   $$(10+y-10)\bigl(10^2-10(y-10)+(y-10)^2\bigr)$$

   $$=y\bigl(100-10y+100+y^2-20y+100\bigr)=y(y^2-30y+300)$$

5. $$(x+y)^3-(x-y)^3$$

   Применяем формулу разности кубов:

   $$\bigl((x+y)-(x-y)\bigr)\bigl((x+y)^2+(x+y)(x-y)+(x-y)^2\bigr)$$

   $$=2y\bigl((x^2+2xy+y^2)+(x^2-y^2)+(x^2-2xy+y^2)\bigr)$$

   $$=2y(3x^2+y^2)$$

6. $$(a-2)^3+(a+2)^3$$

   Используем формулу суммы кубов:

   $$\bigl((a-2)+(a+2)\bigr)\bigl((a-2)^2-(a-2)(a+2)+(a+2)^2\bigr)$$

   $$=2a\bigl(a^2-4a+4-(a^2-4)+a^2+4a+4\bigr)$$

   $$=2a(a^2+12)$$

Пусть

$$x+y=\frac{a^2}{4},\quad y+z=-a,\quad x+z=1.$$

Сложим эти равенства:

$$(x+y)+(y+z)+(x+z)=\frac{a^2}{4}-a+1$$

$$2(x+y+z)=\frac{a^2}{4}-a+1$$

$$x+y+z=\frac12\left(\frac{a^2}{4}-a+1\right)=\frac12\left(\frac a2-1\right)^2$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

$$\frac12\left(\frac a2-1\right)^2\ge 0.$$

Значит, выражение $$x+y+z$$ принимает только неотрицательные значения.

Ответ

1) $$(a+3)(a^2+15a+63)$$;
2) $$(2x+3)(4x^2-12x+21)$$;
3) $$(2a^2-4a+3)(4a^4+8a^3+10a^2-24a+9)$$;
4) $$y(y^2-30y+300)$$;
5) $$2y(3x^2+y^2)$$;
6) $$2a(a^2+12)$$;
$$x+y+z=\frac12\left(\frac a2-1\right)^2\ge 0.$$