Упр.817 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) (а + 6)3 — 27;
2) (2х -1)3 + 64;
3) 8а6 — (4а — 3)3;
4) 1000 + (у -10)3;
5) (х + у)3 -(х- у)3;
6) (а — 2)3 + (а + 2)3. Известно, что х + у = a2/4; у + z = -а; х + z = 1. Докажите, что выражение х + у + z принимает только неотрицательные значения.

1. $$ (a+6)^3-27=(a+6)^3-3^3 $$

   Используем формулу разности кубов:

   $$ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) $$

   Тогда

   $$ (a+6)^3-3^3=((a+6)-3)\bigl((a+6)^2+3(a+6)+9\bigr) $$

   $$ =(a+3)(a^2+12a+36+3a+18+9)=(a+3)(a^2+15a+63) $$

2. $$ (2x-1)^3+64=(2x-1)^3+4^3 $$

   Используем формулу суммы кубов:

   $$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $$

   Получаем

   $$ (2x-1)^3+4^3=((2x-1)+4)\bigl((2x-1)^2-4(2x-1)+16\bigr) $$

   $$ =(2x+3)(4x^2-4x+1-8x+4+16)=(2x+3)(4x^2-12x+21) $$

3. $$ 8a^6-(4a-3)^3=(2a^2)^3-(4a-3)^3 $$

   Применяем формулу разности кубов:

   $$ (2a^2-(4a-3))\bigl((2a^2)^2+2a^2(4a-3)+(4a-3)^2\bigr) $$

   $$ =(2a^2-4a+3)\bigl(4a^4+8a^3-6a^2+16a^2-24a+9\bigr) $$

   $$ =(2a^2-4a+3)(4a^4+8a^3+10a^2-24a+9) $$

4. $$ 1000+(y-10)^3=10^3+(y-10)^3 $$

   Используем формулу суммы кубов:

   $$ (10+y-10)\bigl(10^2-10(y-10)+(y-10)^2\bigr) $$

   $$ =y\bigl(100-10y+100+y^2-20y+100\bigr)=y(y^2-30y+300) $$

5. $$ (x+y)^3-(x-y)^3 $$

   Применяем формулу разности кубов:

   $$ \bigl((x+y)-(x-y)\bigr)\bigl((x+y)^2+(x+y)(x-y)+(x-y)^2\bigr) $$

   $$ =2y\bigl((x^2+2xy+y^2)+(x^2-y^2)+(x^2-2xy+y^2)\bigr) $$

   $$ =2y(3x^2+y^2) $$

6. $$ (a-2)^3+(a+2)^3 $$

   Используем формулу суммы кубов:

   $$ \bigl((a-2)+(a+2)\bigr)\bigl((a-2)^2-(a-2)(a+2)+(a+2)^2\bigr) $$

   $$ =2a\bigl(a^2-4a+4-(a^2-4)+a^2+4a+4\bigr) $$

   $$ =2a(a^2+12) $$

Пусть

$$ x+y=\frac{a^2}{4},\quad y+z=-a,\quad x+z=1. $$

Сложим эти равенства:

$$ (x+y)+(y+z)+(x+z)=\frac{a^2}{4}-a+1 $$

$$ 2(x+y+z)=\frac{a^2}{4}-a+1 $$

$$ x+y+z=\frac12\left(\frac{a^2}{4}-a+1\right)=\frac12\left(\frac a2-1\right)^2 $$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

$$ \frac12\left(\frac a2-1\right)^2\ge 0. $$

Значит, выражение $$x+y+z$$ принимает только неотрицательные значения.

Ответ

1) $$(a+3)(a^2+15a+63)$$;
2) $$(2x+3)(4x^2-12x+21)$$;
3) $$(2a^2-4a+3)(4a^4+8a^3+10a^2-24a+9)$$;
4) $$y(y^2-30y+300)$$;
5) $$2y(3x^2+y^2)$$;
6) $$2a(a^2+12)$$;
$$x+y+z=\frac12\left(\frac a2-1\right)^2\ge 0.$$